[中學] 幾題資優班入學問題

看板Math作者時間11年前 (2014/06/11 06:39), 編輯推噓3(3推 0噓 25→)
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有幾題包含圖形的問題 在http://www.hwsh.ylc.edu.tw/ 點進去網站之後右上角各項招生資訊中有這幾年資優班入學考題 99學年度的單選第5題 感覺很簡單但是卡住了 填充題第1題 算出來只有一組答案，另一組不合但題目說答案不只一個 填充題第9題 算出來答案是7根號41+根號2010 但不確定答案對不對 102年度的單選第5題 這一題在排列組合裡並不難，但直接找不好找，我是用全部 去扣掉直角三角形跟鈍角三角形，有別的算法嗎 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 125.230.127.118 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1402439963.A.ED4.html
推
06/11 13:14, , 1F
99年單選5：
06/11 13:14, 1F
→
06/11 13:15, , 2F
ABD+ACD+CDE+ABF+GHIJ = ABCD+ADG+EFI+ABH+CDJ
06/11 13:15, 2F
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06/11 13:16, , 3F
從題目可以很快知道：BE=EF=FC=8
06/11 13:16, 3F
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06/11 13:17, , 4F
ABD ACD CDE ABF ABCD都很好算
06/11 13:17, 4F
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06/11 13:17, , 5F
ADG EFI ABH CDJ則是以四邊形邊長為底
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06/11 13:17, , 6F
只要知道高即可
06/11 13:17, 6F
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06/11 13:18, , 7F
因為ADG和BCG全等、ADI和EFI相似(3:1)
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06/11 13:19, , 8F
利用比例可知：ADG的高是8、EFI的高是4
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06/11 13:21, , 9F
ADJ和CEJ相似(3:2)，即DJ:EJ=3:2 =>DJ:DE=3:5
06/11 13:21, 9F
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06/11 13:22, , 10F
又DEC和DJX(X為J在CD的垂足)相似
06/11 13:22, 10F
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06/11 13:22, , 11F
所以三角形CDJ的高=(3/5)*CE = (3/5)*16
06/11 13:22, 11F
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06/11 13:23, , 12F
同理，三角形ABH的高和上面一樣
06/11 13:23, 12F
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06/11 13:23, , 13F
全算出來代回一開始的式子可求GHIJ
06/11 13:23, 13F
推
06/11 13:37, , 14F
99年填充1我也算出一組答案不合，也許後來有改吧？
06/11 13:37, 14F
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06/11 13:37, , 15F
我的做法是：令xy=m,x+y=n
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06/11 13:37, , 16F
則 m+n=39,mn=308 且 m,n都是自然數
06/11 13:37, 16F
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06/11 13:37, , 17F
=> (m,n) = (28,11) or (11,28)
06/11 13:37, 17F
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06/11 13:37, , 18F
但其中 (11,28) 會讓x,y非自然數不合
06/11 13:37, 18F
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06/11 13:37, , 19F
所以要求的 x^2+y^2 = n^2-2m = 11^2-2*28
06/11 13:37, 19F
推
06/11 14:08, , 20F
102單選5要直接取的話...
06/11 14:08, 20F
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06/11 14:09, , 21F
如果要取銳角三角形，那麼每兩點中間最多只能有4點
06/11 14:09, 21F
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06/11 14:10, , 22F
也就是說，
06/11 14:10, 22F
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06/11 14:10, , 23F
要將剩下的9個點分成ABC三份，每一份可以有0~4個點
06/11 14:10, 23F
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06/11 14:10, , 24F
(找一起點後，依序照著空ABC的順序取下一點)
06/11 14:10, 24F
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06/11 14:11, , 25F
因此對每一個起點都有10種取法，12個點共120種取法。
06/11 14:11, 25F
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06/11 14:11, , 26F
但每個三角形都被取了3次，
06/11 14:11, 26F
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06/11 14:11, , 27F
實際上只有120/3=40個銳角三角形。
06/11 14:11, 27F
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07/07 12:14, 6年前 , 28F
只要知道高即可 http://yofuk.com
07/07 12:14, 28F
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