[中學] 不同樣本空間的 X 為何期望值會相等？

看板Math作者 (生死間有大恐怖)時間10年前 (2014/05/14 04:19), 編輯推噓1(1推 0噓 49→)
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一袋中有 2 白球 8 紅球，今從袋中取球，求取得白球個數之期望值 1) 一次取出三球 => 期望值 = 3/5 2) 一次取一球，取後放回，取三次 => 期望值 = 3/5 3) 一次取一球，取後不放回，取三次 => 期望值 = 3/5 所以這種題型還可以衍生出速解， 算取一次的期望值 (= 1/5) 再乘以 3 就是答案。 請問為何會這麼巧呢？ 三個我按基本定義都算過一次答案的確都是 3/5，但是 1) 的樣本空間元素有 C(10,3) 個 2) 的樣本空間元素有 10^3 個 3) 的樣本空間元素有 10*9*8 個 這三者之間有什麼定理或直觀可以連結所以才會相同？ -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.68.109 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1400012344.A.A7F.html
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去看期望值定義吧
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1 和 3 根本是同一回事。雖然 3 多了三顆球的先後次
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序，但你問的是「總共有幾顆白球」，不關次序的事
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所以這兩個給你同樣的期望值是應該的。
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至於2...應該是個意外吧。數字換掉大概就不會有相同
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結果了
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推
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2不是意外吧?
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誰規定樣本空間不同就不能有相同期望值?
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1) 相當於 3) 但不考慮抽出順序.
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2) 與 3) 差別在於三次抽球結果是否獨立.
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把第 i 次抽球結果用 Xi 表示, Xi=1 代表抽中白球,
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Xi = 0 代表抽中的不是白球. 則所問是 Y = X1+X2+X3
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的期望值. 而如上述, 2) 與 3) 的差別是在於 Xi 之間
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獨立不獨立. 但 E[X1+X2+X3] = E[X1]+E[X2]+E[X3] 不
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涉及是否獨立的問題.
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還有原po你的樣本空間似乎搞錯了...
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我現在同意 2 好像不是意外，但是既不了解為什麼也證
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明不出來。誰來教我一下？
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另外，關於樣本空間跟期望值的關係：的確沒有規定說
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你不能算出相同的期望值。
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但是兩個看似不一樣的問題給出一樣的答案，一般都會
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懷疑說，「欸，會不會其實是同個問題，只是看起來不
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一樣而已？」
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我想原po的疑問應該比較接近這個
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問題是原po樣本空間是錯的
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樣本空間跟算機率的時候其實是有落差
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他的樣本空間元素個數沒錯啊？
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就拿第ㄧ種來看，其實樣本空間只有7個元素
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紅球是一樣的耶!不能這樣做，但是的確機率的分母是
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原po寫的那樣
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sorry我剛剛說錯了 應該是(3)是7種才對
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如果球上面有編號原po的想法就沒錯。
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(1)3紅 2紅1白 1紅2白=>3種
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然後編不編號只是細節，因為他問的問題本身無視編號
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題目並沒有說有編號，但是在算機率是要當有編號(不同
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)來算
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所以光是看機率跟期望值就有落差了，更別說期望值了
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機率跟樣本空間才對(打錯)
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相信原po是個老師，但有些地方要界定清楚，不然會誤
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導學生
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所以結論就是樣本空間跟期望值無關，要實際了解請去
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看期望值定義
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可以"/取球的機率",就會知道為什麼相同了
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2) 與 3) 期望值相等這事, 只需證 Xi 的分布與抽出後
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是否放回無關. 當然它們還是有不同的, X1, X2, 和 X3
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的聯合分布不同. 所以, Y=X1+X2+X3 的期望值在兩種情
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況雖相同, 其變異數卻不同. 2) 的變異數是 12/25, 而
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3) 的變異數是 (3/25)(10-3)/(10-1) = 7/75.
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01/02 15:46, 5年前 , 49F
的聯合分布不同. 所以 http://yofuk.com
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(1)3紅 2紅1白 https://muxiv.com
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