Re: [代數] 一題 lagrange′s
: 第一題感覺很直觀，因該是用 lagrange′s thm，但是怎麼謝感覺就是不對。不知道有沒有好心人可以給我提示。
[G : HㄇK] = [G : H][H : HㄇK]
欲證：[H : HㄇK] <= [G : K]
我們希望把每個 HㄇK 在 H 中的coset, g(HㄇK), 都唯一對到一個 K 在 G 中的coset
所以定義 φ(h(HㄇK)) = hK, h 是 H 的元素
(Recall: aH = bH <=> a^{-1} b \in H)
(1) 驗證 φ 是 well-defined
設 h(HㄇK) = h'(HㄇK), 於是 h^{-1} h' \in HㄇK
=> h^{-1} h' \in K
因此 hK = h'K.
(2) 證明 φ 是 injective
設 hK = h'K 其中 h,h' 是 H 的元素,
則 h^{-1} h' \in K
=> h^{-1} h' \in HㄇK
=> h(HㄇK) = h'(HㄇK)
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