[分析] 一個證明

看板Math作者 (new)時間10年前 (2014/03/20 10:35), 編輯推噓3(3推 0噓 16→)
留言19則, 5人參與, 4年前最新討論串1/1
請教大家， 1 n 1 如果我有一個函數 f(x) = ----- Σ ---------, 其中 C_i 可以有關於 n. n i=1 C_i + x 假設 0 < lim f(x) < ∞ 對所有 0 ≦ x < UB 是成立的, 其中 UB 獨立於 n. n→∞ 請問我要如何證明： 有一個數列 x_n, x_n →0, as n →∞ 則 lim f(x_n) = f( lim x_n ) = f(0) 這個敘述是否正確? n→∞ n→∞ 懇請賜教 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 123.195.255.107 ※ 編輯: Nairoda 來自: 123.195.255.107 (03/20 10:52)
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03/20 15:53, , 1F
f應該是f_n吧，不同的n會構造出不同的f
03/20 15:53, 1F
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03/20 15:55, , 2F
C_i有別的條件嗎? 不然我全部取0 f(0)就沒定義了
03/20 15:55, 2F
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03/20 15:56, , 3F
如果f是f_n的話，試試看用均勻收斂+f_n連續去做
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03/20 15:57, , 4F
f_n(x_n)->f(0) as n->oo
03/20 15:57, 4F
謝謝 jack, C_i 的確有條件，也如同您問的， 條件是: lim f(0) 是有限且大於 0。 n→∞ 謝謝建議 ※ 編輯: Nairoda 來自: 106.1.20.239 (03/20 23:11)
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03/21 01:55, , 5F
那用M-test就可以做出來了
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推
03/21 01:55, , 6F
我覺得是不對的: 考慮 C_i = n^(-1/2) for i<n^(1/2)
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C_i=1 for i>n^(1/2)
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則 lim f_n(0) = 1+1=2, 但對於任意 x>0,
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lim f_n(x) = 0+1/(1+x) = (1+x)^(-1)
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謝謝 ppia, 很有用的一個例子. 但是否可以加上條件使敘述成立? 以您的例子似乎加上 x_n = o(n^{-0.5}) 就可以成立? ※ 編輯: Nairoda 來自: 106.1.20.239 (03/21 08:27)
推
03/21 11:28, , 10F
但模仿這構造,我們可以讓任何 x_n→0 都不成立X
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03/21 11:29, , 11F
比如說 x_n→0 exponentially, 那我就取
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03/21 11:30, , 12F
C_i = e^(n^2), for i<e^(-n^2), C_i = 1 otherwise
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我覺得應該對 C_i 設更強的條件
03/21 11:31, 13F
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03/21 11:40, , 14F
對不起我搞笑了, 上面 exp 那個構造是錯的
03/21 11:40, 14F
推
03/21 11:43, , 15F
假定 C_i 都是正的話, C_i 最小只可能是 1/n 的order
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所以只要 x_n=o(1/n) 就行了
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03/21 23:31, , 17F
多謝您的解答！
03/21 23:31, 17F
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01/02 15:43, 5年前 , 18F
那用M-test就可以 http://yofuk.com
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07/07 11:58, 4年前 , 19F
C_i = e^(n^ https://moxox.com
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