[幾何] 能否取到這樣的座標系

看板Math作者 (耶死放)時間12年前 (2014/02/03 02:24), 編輯推噓3(3推 0噓 17→)
留言20則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
小弟最近在念幾何準備研究所 遇到兩個問題想請問各位大大 以下E,F,G代表first fundamental form X(u,v)是參數座標 1. 給定一個regular surface S，上面一點p k1,k2是點p的最大和最小的principle curvature 那一定可以在p點取到orthonormal {e1,e2} 使得e1,e2的方向是principle direction (DoCarmo說的) 我的問題是 如果S上面每個點p都這樣取，並且假設S沒有umbilical point (也就是有很多個p，跑出很多個e1,e2) 那這些e1,e2隨著p是連續變化的嗎?? (就是能不能把e1當成vector field，然後解出u 然後說每一點的Xu=e1,Xv=e2) 當然我覺得應該是不行 因為這樣就能取到E=G=1,F=0感覺不太合理 請問為什麼不行呢?? 2. 對於任何regular surface S，上面一點p 我一定可以取到p的neighborhood，一個參數座標 使得neighborhood中的F=0嗎?? 我覺得應該是可以 方法是想成一個人從Z方向曲面的遠處 拿美工刀割曲面割出u,v曲線 不管遇到曲面什麼狀況 美工刀刀身都維持與Z軸平行(其實這不重要) 並且美工刀行進方向都與X軸(或Y軸)平行 不知道這樣想是否正確?? 謝謝大家幫我解答~小弟感激不盡Orz -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.217.14 ※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.14 (02/03 02:24)
推
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1.當你局部寫下 E=G=1 F=0 這就是平面了(局部),
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02/03 11:57, , 2F
參看isometry 章節
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02/03 11:59, , 3F
2.Exponential map 重要且有要的需求
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1.以intrinsic property 來看
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02/03 13:03, , 5F
1.請問您的局部是這樣嗎: 任給regular surface及點p,
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存在p為圓心的open ball使得在ball裡面E=G=1,F=0
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我的問題偏向是否能取到E,G在一個區域是常數這件
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02/03 13:03, , 8F
事情
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推
02/03 14:50, , 9F
1.如果你問的只是你要的方向,我並沒回答到你
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但如果包括大小,那確實不行,即使變換座標
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E F G都變了但例如 Gaussian curvature 還是由局部
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02/03 14:53, , 12F
E F G決定 與變換座標無關, 因此曲面還是有限制
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(u,v)->X(au,av) a:constant
02/03 14:54, 13F
恕小弟愚昧還是不太懂.. 重申一次我的問題 1. 我想問，在一個任給的p on regular surface 是否在p附近存在一個open ball 使得open ball裡面E=G=1,F=0 (這裡數字大小是我care的) 並且我覺得可以利用限定Xu=e1,Xv=e2達到我的需求(E=G=1,F=0) (e1,e2是原文中的principle direction的unit vector) (這裡unit是我care的) 我想我沒有要用變換座標的意思 我知道有些性質和座標無關，可是還是沒有解決我的問題@@ X(au,av)是幹嘛的?? 我知道他是X(u,v)的伸縮 對不起可能我比較笨...QQ 麻煩您了 ※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.14 (02/03 16:09)
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02/03 16:38, , 14F
「利用限定Xu=e1,Xv=e2」不見得能求出X來。
02/03 16:38, 14F
嗯哼 我想問的就是為什麼這樣不能求出X 並且是否存在其他方法達到E=G=1,F=0的要求 ※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.14 (02/03 17:14)
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02/03 17:35, , 15F
Frobenius theorem
02/03 17:35, 15F
這...超出我理解範圍 有空回頭再研究@@ 謝謝您的關鍵字
推
02/03 21:05, , 16F
E=G=1 F=0 (locally) 也就是 Gaussian curvature =0
02/03 21:05, 16F
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02/03 21:06, , 17F
也就是討論的曲面必須限定 Gaussian curvature=0局部
02/03 21:06, 17F
OK我懂了 意思就是高斯曲率=0 的地方才有可能E=G=1,F=0 那如果今天有一小塊區域中高斯曲率都是0 這樣一定可以取到在小區域中 E=G恆為1,F恆為0 嗎?? 抱歉問題有點多@@ ※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.14 (02/03 21:21)
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02/04 13:46, , 18F
可以，而且解答還是Frobenius theorem...
02/04 13:46, 18F
好的我了解了XD 謝謝兩位大大陪我討論~ ※ 編輯: yasfun 來自: 140.112.217.14 (02/04 16:38)
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01/02 15:40, 7年前 , 19F
「利用限定Xu=e1, https://muxiv.com
01/02 15:40, 19F
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07/07 11:51, 6年前 , 20F
1.當你局部寫下 E= http://yofuk.com
07/07 11:51, 20F
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