[線代] X'QX是否可逆?

看板Math作者 (我要什麼?)時間12年前 (2014/01/30 10:32), 編輯推噓1(1推 0噓 20→)
留言21則, 7人參與, 6年前最新討論串1/1
假設X是n by m的矩陣,n>m, rank(X)=m X'代表X的轉置 假設Q是n by n, non-singular, symmetric 請問, X'QX non-sigular? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 209.6.159.42
→
01/30 11:28, , 1F
X 是 nxm , 答案為否 e.g. X=[1;0] Q=[0,1;1,0]
01/30 11:28, 1F
抱歉 打錯了 已修正 ※ 編輯: Linethan 來自: 209.6.159.42 (01/30 11:54)
→
01/30 21:12, , 2F
dim(image) = m 所以一定有 inverse
01/30 21:12, 2F
→
01/30 21:16, , 3F
等等，好像不一定
01/30 21:16, 3F
推
01/31 17:17, , 4F
找一個例子...X全為0的矩陣..出來就是0矩陣..
01/31 17:17, 4F
→
01/31 17:17, , 5F
啊..忘了rank(X)=m...
01/31 17:17, 5F
→
02/02 15:47, , 6F
Q 是 non-singular symmetric matyrix, 所以存在
02/02 15:47, 6F
→
02/02 15:48, , 7F
Q 是 non-singular symmetric matyrix, 若限制在實數
02/02 15:48, 7F
→
02/02 15:49, , 8F
矩陣, 則存在 nonsingular matrix P 及對角線矩陣 D
02/02 15:49, 8F
→
02/02 15:50, , 9F
使 Q = P'DP, 所以 X'QX = (PX)'D(PX).
02/02 15:50, 9F
→
02/02 15:51, , 10F
因 rank(X)=m, 即 X 是 full column rank, P 是可逆,
02/02 15:51, 10F
→
02/02 15:52, , 11F
所以 PX 也是 full column rank.
02/02 15:52, 11F
→
02/02 15:52, , 12F
上述 P, D 可以考慮:P 是正交矩陣而 D 是 Q 的所有
02/02 15:52, 12F
→
02/02 15:53, , 13F
eigenvalues 構成的; 或 D 是 +1 及 -1 構成的矩陣,
02/02 15:53, 13F
→
02/02 15:54, , 14F
+1 對應 Q 的正徵值, -1 對應負徵值.
02/02 15:54, 14F
→
02/02 15:58, , 15F
然後反例可以想到: 若 Q 之徵值有正有負, 則存在二次
02/02 15:58, 15F
→
02/02 15:59, , 16F
式其值為 0.
02/02 15:59, 16F
→
02/02 23:24, , 17F
感謝各位 我現在知道答案是否定了 一樓給的就是最好
02/02 23:24, 17F
→
02/02 23:25, , 18F
例子 我後來才知果然是題目寫錯 Q不是symmetric
02/02 23:25, 18F
→
02/02 23:25, , 19F
Q應該是positive definite
02/02 23:25, 19F
→
01/02 15:40, 7年前 , 20F
Q 是 non-sin https://noxiv.com
01/02 15:40, 20F
→
07/07 11:50, 6年前 , 21F
//noxiv.com https://muxiv.com
07/07 11:50, 21F
‣ 更多 Linethan 的文章
文章代碼(AID): #1IwRctge (Math)