Re: [分析] 高微問題 > <
※ 引述《cecilia0305 (Cecilia)》之銘言：
Prove or disprove.
Let lim sup An=2
a)If n is large,then Xn>1.99
b)If n is large,then Xn<=2.01
先看看sup和lim sup的定義吧~(詳細的定義可以參考wiki)
簡單來講sup的定義是：某有上界的集合的最小上界
以這個數列為例：
M = sup Xn 也就是M >= Xn for any n 且
for any ε>0 存在 Xi s.t. Xi > M - ε
另外lim sup的定義跟sup異曲同工，不過範圍不同
以數列為例：
lim sup Xn = lim (sup Xm)
n->∞ n->∞ m>=n
現在回到原始的題目：
lim sup Xn = 2
n->∞
(a)If n is large, then Xn > 1.99
其實這個敘述有點不夠清楚
如果意思是當n夠大時Xn都會 > 1.99那麼就是錯的
(考慮Xn = {2, 0, 2, 0......}, lim sup Xn = 2，但是當n是偶數時Xn = 0 < 1.99)
如果只是要說明當n很大時，會存在Xn > 1.99那麼就行的通了
可以先從lim看起，根據極限的定義，可以知道：
存在 N s.t. when n >= N1 sup Xm > 1.995 (這邊取1.995只是為了比1.99大一點點)
m>=n
Let M = sup Xm > 1.995
m>=n
takeε = 0.005 exists Xmi s.t. Xmi > M - ε > 1.995 - 0.005 = 1.99
(b)If n is large, then Xn <= 2.01
這個敘述在當n足夠大的時候，之後所有項都會 <= 2.01
也就是存在 N s.t. for any n > N Xn <= 2.01
證明更容易了
就是存在一個 N2 s.t. when n > N2 sup Xm < 2.01
m>=n
既然連sup Xm都小於2.01，那所有項次大於Xn的也一定都會小於2.01
也就是 take N = N2 for any n > N2 Xn < 2.01
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有點不嚴謹，有錯誤歡迎討論~
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