Re: [複變] 一題很奇怪的複便
※ 引述《swith3 (害羞小男孩)》之銘言：
: 教授出了一個題目
: 1/[cosh(π/2)] -1/[3cosh(3π/2)] +1/[5cosh(5π/2)]-...=π/8
: 他說要從複變下去做
: 但我今天試了一整天
: 一整個一點頭緒都沒有
: 我腦子快要炸開了
: 可否請版上的大大們
: 給我一點建議
f(z) = 1 / ( z * cos(z) * cosh(z) ) , 都是 simple pole
Res(f, 0) = 1, Res(f, ±π/2) = Res(f, ±πi/2) = -2/[πcosh(π/2)],
Res(f, ±3π/2) = Res(f, ±3πi/2) = 2/[3πcosh(3π/2)], ...
contour 取個長方形 x = ±nπ, y = ±nπ 圍起來
然後 limit 讓 n 到無限大, 邊界四段積分值會趨近 0 (要稍微證一下)
所以裡面的 pole 把 Res 加起來是 0, 就可以導出原式
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◆ From: 175.180.113.104
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