[分析] 請教大大一題矩陣性質！

看板Math作者 (uygh)時間12年前 (2013/12/05 16:32), 編輯推噓5(5推 0噓 14→)
留言19則, 8人參與, 6年前最新討論串1/1
若A為一個矩陣且A^n=I即單位方陣，則A+A^2+A^3+……+A^n=0即0方陣！ 請教大大們，這個推論一定正確嗎？還是有何限制條件？感謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 101.10.23.70
推
12/05 16:40, , 1F
[0 1] 平方是 I 但顯然一次加二次不為 0
12/05 16:40, 1F
→
12/05 16:40, , 2F
[1 0]
12/05 16:40, 2F
→
12/05 16:40, , 3F
不過我確實好像有看過類似的敘述但忘了詳細條件了...
12/05 16:40, 3F
→
12/05 16:49, , 4F
det(A)= -1 , n is even?
12/05 16:49, 4F
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12/05 17:13, , 5F
感謝大大們的解釋！請問大大，哪裡可找到詳細的証明
12/05 17:13, 5F
→
12/05 17:59, , 6F
A^(n)-I=(A-I)[A^(n-1)+......+A+I]=0
12/05 17:59, 6F
→
12/05 18:00, , 7F
如果A不等於I 且det(A-I)不為零 是不是就成立了?
12/05 18:00, 7F
推
12/05 18:39, , 8F
也不一定, 因為矩陣一般來說是有 zero divisor 的
12/05 18:39, 8F
→
12/05 18:39, , 9F
應該還是需要別的條件...
12/05 18:39, 9F
→
12/05 18:42, , 10F
唔, 上面弄錯了: 矩陣的 zero divisor 行列式為 0
12/05 18:42, 10F
→
12/05 18:43, , 11F
所以 det(A-I) 不為 0 應該就 OK
12/05 18:43, 11F
推
12/05 19:50, , 12F
det(A-I)不為0保證det[A^(n-1)+......+A+I]=0
12/05 19:50, 12F
→
12/05 19:50, , 13F
但要怎麼保證[A^(n-1)+......+A+I]=0？
12/05 19:50, 13F
推
12/05 22:24, , 14F
若det(A-I)=/=0, (A-I)*x=0只有x=0的解
12/05 22:24, 14F
→
12/05 22:25, , 15F
所以A^(n-1)+......+A+I的每個column都是0
12/05 22:25, 15F
→
12/05 22:26, , 16F
另外n應該不限even或odd
12/05 22:26, 16F
推
12/05 23:44, , 17F
各位大大我是問句拉xd 抱歉誤導原PO 當初沒仔細思考
12/05 23:44, 17F
→
01/02 15:37, 7年前 , 18F
各位大大我是問句拉xd https://noxiv.com
01/02 15:37, 18F
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07/07 11:41, 6年前 , 19F
所以 det(A-I) https://muxiv.com
07/07 11:41, 19F
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