[線代] 聯立ODE，給初值求係數，係數不唯一?

看板Math作者WrathWithin (Hatebreeder)時間12年前 (2013/11/02 21:40)推噓2(2推 0噓 4→)

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這問題滿讓人困擾的，如下: Solve the following differential equation system: dX1 ── = 3X1 + X2 - X3 dt dX2 ── = X1 + 3X2 - X3 dt dX3 ── = 3X1 + 3X2 - X3 dt with initial values as X1(0)=4, X2(0)=7, X3(0)=7 . 以下是我解法: → → X'=AX 列出係數矩陣，得 -(λ-2)^2 * (λ-1) 當λ=1 特徵向量(1,1,3)T (T=轉置) λ=2,2 重根，有2參數解取特徵向量(1,-1,0)T 及 (1,0,1)T (T=轉置) → → → → → → 令X = SY 代入 X'=AX 得 Y' = DY (S為對角化之特徵向量矩陣 D為對角化之特徵值矩陣) Y1' = Y1 , Y1 = C1 * exp(t) Y2' = 2 * Y2 , Y2 = C2 * exp(2t) Y3' = 2 * Y3 , Y3 = C3 * exp(2t) → → 又X = SY, 特徵向量代入，題目之initial values代入解方程式得 C1= -4, C2= -11, C3= 19 為解但如果一開始取特徵向量 (1,1,3) (1,2,3) (1,0,1) 則解出 C1= -4, C2 = 11/2, C3=5/2 若取特徵向量(1,1,3) (0,1,1) (1,0,1) 又會得另一組解是我哪裡算錯了嗎?還是觀念有誤? 還是聯立ODE給初值，取不同特徵向量，則解出係數不唯一，答案不只一組? 如果解不只一組，要取哪一組作答每個人都取不同的特徵向量，解出不同係數，閱卷老師會一個一個去驗算嗎? 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.25.28.146

推

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此為 100年台大電機第12題原題如下 http://ppt.cc/pwnl

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LPH66

11/02 22:36, , 2^F

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