Re: [其他] 四題組合
※ 引述《j0958322080 (Tidus)》之銘言：
: http://ppt.cc/ymvv
: 主要是想問第一題跟第四題，第一題沒想法，
: 二、三、四為題組，二、三有解出來，
: 第四題那個是 = 4^n，
: 不知道要怎樣化成二、三題的形式。
1.
Let F = Σ_{n≧0} (a_n/n!)x^n
a_n/(n-1)! = 2a_{n-1}/(n-1)! + 2a_{n-2}/(n-2)!
=> Σ_{n≧2}(a_n/(n-1)!)x^{n-1}
= 2Σ_{n≧2}(2_{n-1}/(n-1)!)x^{n-1} + 2xΣ_{n≧2}(a_{n-2}/(n-2)!)x^{n-2}
=> F'-2 = 2(F-1) + 2xF
=> F'=(2x+2)F => F = C*exp(x^2+2x)
since F(0)=1, C=1 => F = exp(x^2+2x)
4.
(1-4x)^{-1} = (1-4x)^{-1/2}(1-4x)^{-1/2}
= Σ_{k≧0} C(2k,k)x^k Σ_{t≧0} C(2t,t)x^t
So 4^n = [x^n](1-4x)^{-1} = Σ_{k=0,..,n} C(2k,k) C(2n-2k,n-k)
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