[微積] 2階ODE-未定係數解(特殊題目)

看板Math作者 (爬山)時間12年前 (2013/09/27 19:33), 編輯推噓1(1推 0噓 23→)
留言24則, 6人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
題目：y"-3y'+2y = 8x^2 - 2x^(e^x) 這是小弟的筆記上的題目，沒有答案，以下為小弟的解法， 不知道計算過程是否有問題，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！ 設 y = ax^2 + bx + c y'= 2ax + b y''= 2a (2a)x^2 -3*(2a+b)x + (ax^2 + bx +c) = 8x^2 - 2x^(e^x) 2ax^2 - 6ax^2 - 3bx + ax^2 + bx + c - 8x^2 + 2x^(e^x) = 0 (-3a-8)x^2 - 2bx + c + 2x^(e^x) = 0 a = - (8/3) b = 0 c = 0 -(8/3)x^2 + 2x^(e^x) = 0 ------------------------------------------------------------------------------ 常係數計算： 設 x^2 - 3x + 2 = 0 (x-1)*(x-2) = 0 x = 1 or 2 常係數：φ1 = e^x 與 φ2 = e^2x 所以方程解為：y = -(8/3)x^2 + 2x^(e^x) + c1*e^x + c2*e^2x (通解) -------------------------------------------------- ↑ 這是小弟計算最後的答案，不知道是否有問題？ 麻煩不吝嗇指導，謝謝！ -- 水無常態，兵無常勢。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.35.30.78
推
09/27 21:06, , 1F
如果題目是y"-3y'+2y=8x^2 - 2x^e^x
09/27 21:06, 1F
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09/27 21:06, , 2F
x^(e^x)？？？
09/27 21:06, 2F
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09/27 21:06, , 3F
則解答為y=c1*e^x+c2*e^2x+4x^2+12x+14
09/27 21:06, 3F
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09/27 21:07, , 4F
+2e^x[S (x^e^x)*(e^-x) dx]-2e^2x[S (x^e^x)*(e^-2x
09/27 21:07, 4F
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09/27 21:07, , 5F
) dx]
09/27 21:07, 5F
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09/27 21:07, , 6F
其中S微積分符號 中括號裡面我積不出來
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09/27 21:07, , 7F
如果題目是y"-3y'+2y=8x^2 - 2xe^x
09/27 21:07, 7F
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09/27 21:07, , 8F
則解答為y=c1*e^x+c2*e^2x+4x^2+12x+14+(x^2+2x)e^x
09/27 21:07, 8F
不好意思，可以請教您的計算方式嗎？ y = c1*e^x + c2*e^2x + 4x^2 + 12x + 14 + 2e^x[∫(x^e^x)*(e^-x) dx] - 2e^2x[∫(x^e^x)*(e^-2x) dx] 以上式子怎麼出來的？ ※ 編輯: pigheadthree 來自: 114.35.30.78 (09/27 21:21)
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09/27 21:27, , 9F
d大，我算出來的常數項是16
09/27 21:27, 9F
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09/27 22:29, , 10F
這個ID只要笑就好了
09/27 22:29, 10F
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09/27 22:58, , 11F
Y=Yh+Yp Yh=c1*e^x+c2*e^2x <-這個你會做
09/27 22:58, 11F
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09/27 22:58, , 12F
Yp"-3Yp'+2Yp=8x^2 - 2x^e^x
09/27 22:58, 12F
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09/27 22:58, , 13F
如果題目無誤 取Yp=Yp1+Yp2 其中
09/27 22:58, 13F
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09/27 22:59, , 14F
Yp1"-3Yp1'+2Yp1=8x^2 - (1);Yp2"-3Yp2'+2Yp2= - (2)
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09/27 22:59, , 15F
(1)式使用undetermined coefficients求解
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09/27 22:59, , 16F
(2)式使用variation of parameters求解
09/27 22:59, 16F
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09/27 23:32, , 17F
x^e^x 最好是可以積...沒有人想糾正了嗎
09/27 23:32, 17F
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09/27 23:34, , 18F
另外有e^x部分存在，待定係數又直接無視很誇張
09/27 23:34, 18F
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09/27 23:40, , 19F
對不起漏打了一點點 Yp2"-3Yp2'+2Yp2= - 2x^e^x -(2)
09/27 23:40, 19F
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09/27 23:40, , 20F
回H大就是因為積不出來所以我才把它表示成積分的形式
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09/27 23:41, , 21F
其實我覺得題目抄錯的可能性比較大
09/27 23:41, 21F
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09/27 23:53, , 22F
欸我推文不是說你XDD
09/27 23:53, 22F
不好意思，題目打錯了，為2階ODE，已作修正。 ※ 編輯: pigheadthree 來自: 114.35.30.78 (09/28 19:38)
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01/02 15:32, 7年前 , 23F
Yp1"-3Yp1'+ https://noxiv.com
01/02 15:32, 23F
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07/07 11:28, 6年前 , 24F
其實我覺得題目抄錯的可 https://moxox.com
07/07 11:28, 24F
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