[機統] 統研所考題

看板Math作者 (不問歲月任風歌)時間11年前 (2013/06/27 11:06), 編輯推噓2(2推 0噓 36→)
留言38則, 5人參與, 5年前最新討論串1/1
請教各位: (1)在Cauchy分配下,樣本平均與任一樣本的m.g.f相同故由唯一性推得分配亦相同. 為何中央極限定理在Cauchy分配不成立的理由與m.g.f相同有關? (2) U1,…,Un～U(0,1) (iid),求Π(1 - Ui/n)之極限分布? 用到定理解題: if lim E(Un) = a , lim Var(Un) = 0, then Un conv to a in square mean. 在計算Var(Π(1 - Ui/n))時, 當中需計算 E(1 - Ui/n)^2: 我是把平方式展開個別算得值為1 - 1/n + 1/3n^2 ; 解答表示成 1 - 1/n + o(n)/n 想請問o(n)/n 是怎得出?又Var(Π(1 - Ui/n))如何計算至0?用我自己算的值,求不出0 (3) X1,…,Xn～U(0,θ) (iid),θ1 = n+1/n max(X1,…,Xn).求n(θ1 - θ)之極限分布? 我是令Yn = n(θ1 - θ),最後用 order statistics求P(θ1 < θ + y/n)時 對於θ + y/n之範圍的找法不知道該如何找 (4) Suppose X1,…,Xn have P(Xi = 1) = p,P(Xj = 0) = 1-p,P(Xi = 1,Xj = 1) = q, whenever i is not equal to j.Find Var(X1 + … +Xn). -- 一個人澈悟的程度 恰等于他所受痛苦的深度 ~~林語堂 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.120.241.229
推
06/27 11:25, , 1F
(1)因為CLT預期樣本平均應該愈來愈接近常態分佈，可
06/27 11:25, 1F
→
06/27 11:26, , 2F
是柯西分佈怎麼樣也沒辦法接近常態
06/27 11:26, 2F
→
06/27 11:27, , 3F
(2) 1/3n是o(1/n)沒錯啊。
06/27 11:27, 3F
→
06/27 11:28, , 4F
抱歉剛剛(2)那個不對= =|||
06/27 11:28, 4F
→
06/27 16:08, , 5F
謝謝您...
06/27 16:08, 5F
→
06/27 20:39, , 6F
Cauchy 連期望值都不存在, 哪來的 m.g.f.?
06/27 20:39, 6F
→
06/27 20:41, , 7F
估計是算了E[exp(itX)]吧
06/27 20:41, 7F
→
06/27 20:48, , 8F
這樣出來的m.g.f.是exp(-|t|)之類的樣子，在0的一階
06/27 20:48, 8F
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06/27 20:49, , 9F
導數不存在，所以沒有違背期望值不存在。
06/27 20:49, 9F
→
06/27 20:52, , 10F
第2題: 有指定做法嗎? 否則用 m.g.f. 求其對數之極限
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06/27 20:52, , 11F
分布吧!
06/27 20:52, 11F
→
06/27 20:54, , 12F
(4) Var(ΣXi) = ΣVar(Xi)+2ΣΣ_{i<j}Cov(Xi,Xj).
06/27 20:54, 12F
推
06/27 21:13, , 13F
(2)o(n)/n就別管了。
06/27 21:13, 13F
→
06/27 21:14, , 14F
Var(Π(1 - Ui/n))
06/27 21:14, 14F
→
06/27 21:14, , 15F
= (1 - 1/n + 1/3n^2)^2 - (1 - 1/n + 1/4n^2)^2
06/27 21:14, 15F
→
06/27 21:16, , 16F
打錯了
06/27 21:16, 16F
→
06/27 21:16, , 17F
Var(Π(1 - Ui/n))
06/27 21:16, 17F
→
06/27 21:16, , 18F
= (1 - 1/n + 1/3n^2)^n - (1 - 1/n + 1/4n^2)^n
06/27 21:16, 18F
→
06/27 21:17, , 19F
= A^n - B^n
06/27 21:17, 19F
→
06/27 21:17, , 20F
= (A-B)*[A^(n-1) + A^(n-2)*B + ... + B^(n-1)]
06/27 21:17, 20F
→
06/27 21:19, , 21F
< (A-B)*[n*A^(n-1)] 因為A顯然比B大
06/27 21:19, 21F
→
06/27 21:20, , 22F
= 1/12n^2 * n * (1 - 1/n + 1/3n^2)^(n-1) → 0
06/27 21:20, 22F
→
06/27 22:17, , 23F
(3) P(θ1 < θ + y/n) → exp(y/θ -1)
06/27 22:17, 23F
→
06/27 22:18, , 24F
max(X1,...Xn)<C iff X1<C且X2<C且...且Xn<C
06/27 22:18, 24F
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06/27 22:18, , 25F
應該說P(θ1 < θ + y/n) → exp(y/θ -1) for y<θ
06/27 22:18, 25F
→
06/27 22:19, , 26F
P(θ1 < θ + y/n) → 1, otherwise
06/27 22:19, 26F
→
06/28 01:28, , 27F
所以最後可以說是個指數分佈。
06/28 01:28, 27F
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06/28 15:50, , 28F
感謝老師與這位大大...非常感謝你們解惑
06/28 15:50, 28F
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06/28 15:53, , 29F
(1)應該是ch.f,m.g.f算太習慣誤打!期望值的確不存在
06/28 15:53, 29F
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06/28 15:53, , 30F
謝謝老師指正
06/28 15:53, 30F
→
06/28 15:55, , 31F
(2)題可以請問老師為何想用對數之極限分布的想法?
06/28 15:55, 31F
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06/28 16:05, , 32F
(4)題copy不完整...是解題時有些疑惑!抱歉
06/28 16:05, 32F
(4)要問的是 E(Xi)可否用Xi=0計算?Xi,Xj是給定的嗎? Cov(Xi,Xj) 可否計算出P(Xi=0 ,Xj=0) = 1 - q - 2p(1 - p)代入? Var(Xi)可否用Bernoulli試驗來算(把Xi當成試驗1次: Xi=1表示成功, Xi=0表示 失敗)? ※ 編輯: Rotman 來自: 59.120.241.229 (06/28 16:07)
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06/29 01:46, , 33F
相乘 -> 取對數 -> 相加, i.i.d. 適合用 m.g.f. 處理
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06/29 01:47, , 34F
(4)E[Xi]=p=E[Xi^2], E[XiXj]=q, 這樣還不會算?
06/29 01:47, 34F
剛才想通疑惑了...沒注意到i與j不相等以致多考慮到獨立情形 題目也奇妙在取值0與1使得E[Xi]=E[Xi^2],如果取值非0與1,這題要如何解? ※ 編輯: Rotman 來自: 59.120.241.229 (06/29 15:05)
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11/10 11:59, , 35F
m
11/10 11:59, 35F
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11/10 11:59, , 36F
11/10 11:59, 36F
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01/02 15:27, 5年前 , 37F
Var(Π(1 - http://yofuk.com
01/02 15:27, 37F
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07/07 11:12, 5年前 , 38F
(4)E[Xi]=p= https://muxiv.com
07/07 11:12, 38F
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