Re: [線代] 一個極大無關組的定理

看板Math作者 (312)時間12年前 (2013/06/07 00:03), 編輯推噓7(7推 0噓 28→)
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※ 引述《honsan (honsan)》之銘言： : 定理出自三人本線性代數 sec1.7 : Theorem 1.13. Let S be a linearly independent subset of a vector space V. : There exist a maximal linearly independent subset of V that contains S. : 設F={W:W is a linear independent set of V that contains S.} : 證明： : 根據maximal pricinple：若一鏈C屬於F, 則C中元素的聯集U為F的極大成員。 : 由於S必屬U, 因此我們只需證明U線性獨立。 : 設u1, u2, ... , un 屬於U, 且有一組純量使： : a1*u1+a2*u2+...+an*un = 0. : 則有Ai屬於鏈C使ui belongs to Ai, 但因C是一鏈， : 故必有一Ak包含所有ui(i = 1,2,...,n) : 但Ak線性獨立, 故 : a1 = a2 = ... = an = 0 : 由此知U線性獨立。 : 我的問題：為什麼只證明了有限的ui，就可以宣稱U線性獨立？ 他的意思是 如果 U 是 linearly dependent, 那就存在一組有限的 u_i in U， 和一組不全為零的 scalars a_i， 使得 Σ a_i*u_i = 0。 (以上這是 linearly dependent 的定義，即使 U 中有無限個元素) 但是後來你也知道，找不到這樣的 u_i 所以 U 是 linearly independent -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.39.167.71
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06/07 00:12, , 1F
另外，U並不是你說的那樣，他不一定是F中的 maximal
06/07 00:12, 1F
推
06/07 00:21, , 2F
嗯 所以是反證法的意思 謝謝ERT312
06/07 00:21, 2F
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06/07 00:23, , 3F
另外原文有證明U是maximal，不過我漏掉了...
06/07 00:23, 3F
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06/07 00:33, , 4F
Maximal Principle 並沒有說 U 是 maximal member喔
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06/07 00:35, , 5F
事實上，不同的 C 可能會對應到不同的 U
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06/07 00:36, , 6F
Maximal Principle 只是說 F 中一定有 maximal，
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06/07 00:36, , 7F
但沒有說怎麼構造
06/07 00:36, 7F
推
06/07 00:40, , 8F
大概是我表達的不清楚 我的意思是說:
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06/07 00:41, , 9F
Maximal Principle保證maximal member存在
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06/07 00:42, , 10F
而恰好在這的定理中是鏈元素的聯集。
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06/07 00:43, , 11F
跟前輩您的解釋是相同的，但還是謝謝您這麼晚了還這
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06/07 00:43, , 12F
麼用心解釋！
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06/07 00:49, , 13F
如果 chain C "太短"，聯集出來的 U 就不會是 F 中的
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06/07 00:50, , 14F
maximal，你可能誤解 maximal principle 了
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06/07 01:04, , 15F
可是證明裡面他要的chain應該就是「最長」的那個吧？
06/07 01:04, 15F
推
06/07 03:05, , 16F
不是啊
06/07 03:05, 16F
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06/07 03:07, , 17F
Maximal Principle 是說：若任意偏序集都有"上界"
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06/07 03:07, , 18F
則有"極大元素"。
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06/07 03:08, , 19F
你的chain是個"任意"的偏序集
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推
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幫樓上改個小筆誤 chain 是 totally ordered subset
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06/07 12:09, , 21F
Yes,偏序有時候是不能比較的，chain一定可以比較
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推
06/07 14:19, , 22F
所以證明U包含所有chain C 的元素，只代表F有一個
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06/07 14:20, , 23F
maximal member，並不代表U是那個maximal member?!
06/07 14:20, 23F
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06/07 15:10, , 24F
U是那個chain的上界 不代表就是maximal element
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06/07 15:28, , 25F
所以要證明U在F中才能宣稱它是「極大成員」？
06/07 15:28, 25F
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06/07 15:34, , 26F
U在F中這個是本來就必須要證的 (不然不能用)
06/07 15:34, 26F
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06/07 15:34, , 27F
但是F可能有很多chain. 這裡只是對任意的chain, 給出
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06/07 15:34, , 28F
這個chain的upper bound --- 然後引用 Zorn's lemma
06/07 15:34, 28F
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06/07 15:34, , 29F
可以說若每個chain在F中都有upper bound, 則F中存在
06/07 15:34, 29F
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06/07 15:34, , 30F
maximal element
06/07 15:34, 30F
推
06/08 01:58, , 31F
謝謝Mewt。
06/08 01:58, 31F
推
06/08 02:01, , 32F
就說了U是upper bound，不是甚麼maximal element
06/08 02:01, 32F
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11/10 11:54, , 33F
所以證明U包含所有ch https://daxiv.com
11/10 11:54, 33F
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01/02 15:26, 7年前 , 34F
這個chain的upp https://noxiv.com
01/02 15:26, 34F
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07/07 11:07, 6年前 , 35F
而恰好在這的定理中是鏈 https://moxox.com
07/07 11:07, 35F
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