Re: [微積] 反函數定理
※ 引述《RedGrocery (johnathonchun)》之銘言：
: f(x)= 3 + x^2 + tan(πx/2), -1 < x < 1
: g is the inverse function of f
: 利用 反函數定理 可以求出 g'(3) =π/2
: 我想請問
: 除了得出g'(3) =π/2以外
: 如何判斷f is one-to-one呢?
: 請問可以利用 f'(x)= 2x + (π/2)sec^2(πx/2) 來判斷 f是monotonic 嗎?
: 這是可行的方法嗎?
可以, 雖然不那麼直接:
(1) 0≦x＜1: 顯然 f'(x) 恆正 (因為 sec^2 恆大於等於 1)
(2) -1/2 < x < 0: 這裡 2x > -1 又由於 π/2 > 1 所以也能得到 f'(x) 恆正
(3) -1＜x≦-1/2: 這裡比較 tricky
sec^2(πx/2) 在這個範圍裡其實是恆大於等於 2 的
(sec^2(π/4) = 1/cos^2(π/4) = 2)
要有了這個才可以跟 2x > -2 抵消得到 f'(x) 恆正 (同樣也有用上 π/2 > 1)
這樣就證明了 f'(x) 在定義域裡恆正 即 f 是單調(遞增)的
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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白
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