[離散] 無限個數卻可數的集合？

看板Math作者 (洪爺sytle)時間12年前 (2013/04/14 09:48), 編輯推噓6(6推 0噓 39→)
留言45則, 10人參與, 6年前最新討論串1/1
前幾天上課老師教到幾個觀念 可數(countable)就是能夠把他一個一個數出來 + 無限大(infinity)不屬於Z (也就是此處討論的正整數不包含無限大) 若 A 為 finite set or A~Z 則稱 A is a countable set 我的問題是 1. 什麼叫做「這個集合有無限個元素，但卻可數」？？？ 　 （比方說 Z 整數這個集合，有無限多個元素但卻可數） + - 2. 有理數Q，整數Z，正整數Z ，負整數Z ，分別有有限個元素還是無限個呢？ 　 又分別是可數還是不可數集合呢？ + - 3. 無限大有包含在Q，Z，Z，Z 中嗎？ 　 + + 4. 如果定義無限大不屬於 Z 這個集合，那 Z 的元素個數就是有限個了吧？ 　 + + 因為之前好像聽到無限大並不屬於Z　，因此 Z 個數有限個的時候 腦子就有點昏昏的... 因為一直以來都是以為正整數有無限多個阿=口= 麻煩高手協助我釐清觀念了 謝謝 ><~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.45.166.178 ※ 編輯: hungyastyle 來自: 114.45.166.178 (04/14 09:48)
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countable: 有一bijection可使該集合和正整數對應
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書上定義也是這個 但感覺就是很不直觀 想不透為什麼有無限個元素，卻仍然「可數」？？
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2.全部都是無限多個，四個都是可數集合
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3跟4的問法有點奇怪，我不太曉得你想問什麼XD
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印象中老師說正整數是有限個元素的原因，是因為無限大沒有被包含在裡面 所以我在想那有理數，負整數，整數，有沒有包含無限大？ 如果都沒有的話，那它們不就全都是有限個元素了... （至於實數有沒有包含無限大應該不重要？因為反正連(0,1)都有無限個元素了...）
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推
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其實第一行不太對，應該是集合中的每個元素都能找到
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唯一的正整數與其對應，這樣講好像比較OK？
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※ 編輯: hungyastyle 來自: 114.45.166.178 (04/14 10:16)
推
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不知道這樣想對不對，提供一個比較直觀的想法，也請
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高手指正，所謂可數，是你可以定義出下一個，像正整
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數1的下一個就是2，可數但數不完，就是無限可數
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推
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No, 實數 整數 有理數全部沒有無限大
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(有的書會定義extended real number system,∞不過那
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不太重要)
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所謂的可數定義成 "跟N有個bijection" 的直觀如jklkj
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所述, 你可以*一個一個數下去*
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假如是無限多個元素,雖然數不完,但是 **給定任何一個
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元素,我們可以保證"有限時間內"(不知多久)一定數到
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而且一定恰巧數到一次
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整術阿
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「沒有無限大」跟「不是無限大的」完全不一樣喔。
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前者說的是沒有無限大這個「元素」，而後者的無限大
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是用來描述這個集合的形容詞，說明集合內的元素不只
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一個、不只有兩個、不只有三個……
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推
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"有限個"一定"數得完"這應該很直觀不用解釋
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"無限個且可數"是說"任何一個元素都可以排序"
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當然 這種"排序"方式不是唯一的
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在離散數學的討論中 定義成"和自然數可以1-1對應"
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算是一種比較方便通俗的作法
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...回題 所謂"可數的無限多個" 可以想像成"任意指定
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一個元素 我們都能定義它是第幾個"
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但"無限大"本身不能說是"第幾個" 所以不在"可數"範圍
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推
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不過有個不值觀的地方在於 能排"第幾個" 卻不一定能
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由小排到大 , ex:有理數
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而這件事和集合本身的元素數量無關 就這樣
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不能從小排到大不用到有理數 整數集就可以了
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不過 這部份應該還是要注重在排序本身的用處才對
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離散延伸出去的編碼學和程式語言等等 排序都很有用
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(Well-ordering Principle套 R 身上也很不直觀..XD)
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推
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"排第幾個"是序數觀念 跟這裡討論的基數不一樣
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"可數"就是一個名詞而已 它的定義就是和自然數可以
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一一對應 原PO不需要執著於字面上的意思
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"無限個且可數"是說" https://muxiv.com
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09/17 15:27, , 42F
3跟4的問法有點奇怪， https://daxiv.com
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11/10 11:39, , 43F
一個元素 我們都能定義 https://daxiv.com
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01/02 15:21, 7年前 , 44F
但"無限大"本身不能說 http://yofuk.com
01/02 15:21, 44F
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07/07 10:52, 6年前 , 45F
是用來描述這個集合的形 https://muxiv.com
07/07 10:52, 45F
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