Re: [其他] discrete topology
※ 引述《ssss50201 (ssss)》之銘言：
: 正在自學basic topology這本書。
: 看到discrete topology的地方看得霧煞煞的...
: 其實對open set的概念也是模糊模糊的>"<
: 書上舉了一個例子:
: the set X={x|x in Euclidean space E^n with integer coordinates}
: and give it the subspace topology, result in a discrete topology.
因為沒說，我假設這邊的E^n都是用歐氏拓樸
兩個觀念：
(1) subspace topology
X是E^n的一個子集合，而E^n又是一個拓樸空間，
所以透過E^n的拓樸，我們可以定義X上的子拓樸(或相對拓樸)
怎麼定義，給一個X的子集合Y，
如果這個Y可以寫成X交集某個E^n上的開集的話，我們就把這個Y看成X上的(相對)開集，
意即，定義 F = { YㄈX | Y = X ∩ U, for some open set U in E^n.}
F 是一個topology.
此時，我們稱F是在X上，由E^n定義的子拓樸(或相對拓樸).
而每一個元素U in F，稱作相對開集
(2) subspace topology is also a topology.
從證明 F 是topology就可以知道上述結果
因為X本身是個集合，上面自然會有離散拓樸P(X)，
而且P(X)是在X上最大的拓樸，所以自然的 F ㄈ P(X)。
因此，你的問題就剩下去證明： P(X) ㄈ F
證明：
給一個Y屬於P(X)，
則對於所有y in Y，(每個y都是一個整數座標的形式，拿來做圓心剛好)
令U_y = B(y,1/2)：以y中心，1/2為半徑的球，而且也是個E^n上的開集
很明顯的， y = X ∩ U_y for all y in Y
=> Y = ∪ y = ∪ (X∩U_y) = X ∩ ∪ U_y = X ∩ U
y in Y y in Y y in Y
其中 U = ∪ U_y，很明顯的，U是E^n上的一個開集
y in Y
所以 Y 可以寫成 X ∩ U的形式，因此 Y屬於F
=> P(X) ㄈ F
∴ F = P(X)
i.e., 這個由E^n定義出來，在X上的相對拓樸F，剛好等於X本身的離散拓樸P(X)
p.s. 上面所有寫"很顯然的"，你都應該動手去寫寫看
: 只是這個set X +subspace topology,
: 實在想不明白為什麼就會變成discrete topology....
: discrete topology的定義是every subset is an open set.
: 如果n=1，這個set是所有整數點,每個整數點都是一個subset,
: 那怎麼說明每個整數點都是open subset呢？
: 謝謝幫忙~
: ps. discrete topology和discrete metric是不是很類似的東西阿？
: 我覺得很像 但metric有距離的定義 但topology沒有...
discrete metric space (X,d)可以透過離散距離來定義出 metric topology
而X本身看成一個集合，與生俱來也有discrete topology
此時，discrete metric所生成的 metric topology剛好就是discrete topology
這個~~其實可以自己想想看~~
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推
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