[線代]symmetrized product hermitian matrix

看板Math作者 (linshihhua)時間13年前 (2013/03/20 17:22), 編輯推噓0(0推 0噓 9→)
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請問該如何證明 if A is positive definite and S=AB+BA is positive semidefinite (positive definite) then B is positive semidefinite (positive definite) 感謝幫忙 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.128.127.71
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03/21 14:01, , 1F
好像可以去看B的sub det.，可是算到3*3就快炸了。
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03/21 14:02, , 2F
應該會有更直接的方法...
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03/21 14:19, , 3F
隨意做...令 K=B-B^t 就有 AK=-KA, 故 K 將 A 的
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03/21 14:20, , 4F
特徵向量 v(滿足 Av=av) 映至 A 的特徵值為 -a 的
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特徵向量 Kv. 但 A 只有正特徵值, 故 K=0,故B對稱
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把 S 的半正定寫開就得到 B 的半正定了
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03/21 18:26, , 7F
啊，只要挑B的特徵向量去做就可以了...
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03/21 18:28, , 8F
B的特徵值b, 特徵向量x.
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03/21 18:29, , 9F
b=x'Sx/(2x'Ax)
03/21 18:29, 9F
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