Re: [線代] 在R^4中的好basis

看板Math作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間11年前 (2013/02/28 13:45)推噓1(1推 0噓 29→)

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※ 引述《fresca (coke)》之銘言： : ※ 引述《fresca (coke)》之銘言： : : 在R^3中, 假設已經給了兩個線性獨立的向量 v1和v2, : : 可以取 v3= v1×v2, 這樣 {v1,v2,v3} 就是一個 basis. : : 那麼在 R^4中, 假設已經給了兩個垂直的向量v1,v2, : : 有什麼比較簡潔的取法 v3,v4, 使得 {v1,v2,v3,v4} 是一個basis 呢? : : 謝謝! : 抱歉沒把問題打清楚 : 這邊找"好"basis的意思指說: 給出v3,v4一個簡單的公式,使得{v1,v2,v3,v4}是basis. : 簡單的公式的意思是說.... 像R^3的例子, v3= v1×v2 就是一個簡單的公式 : 現在有三種想法 : (1) bineapple板友的推文 : 第一列第二列第三列第四列 : (2) 取 R1= { (0,0,1,0), (0,0,0,1), (-1,0,0,0), (0,-1,0,0) } : R2= { (0,1,0,0), (-1,0,0,0), (0,0,0,-1), (0,0,1,0) } : 取 v3=R1.v2, v4=R2.v2, 如此一來, {v2,v3,v4} 線性獨立且互相垂直 : (如果寫成 v2=(a,b,c,d), 那 v3= (-c,-d,a,b), v4=(-b,a,d,-c) ) : 缺點: 沒有辦法保証 {v1,v2,v3,v4} 線性獨立. : (3) 同(2)的作法, 但是最後把v1 用 v2,v3,v4三個向量的外積取代. : 如此以來 {新v1,v2,v3,v4} 是互相垂直的basis. : 缺點: 這個basis不含有舊的v1. --- 其實原po可以仿造給定sub-space, 求其 null-space 的作法令 X = [A │ B] = [v1 v2]^T , 其中 A, B 為 2x2 matrix <1> when A is invertible: -1 choose [v3 v4] = [-(A B)^T │ I_2 ]^T <2> when B is invertible: -1 choose [v3 v4] = [I_2 │-(B A)^T ]^T <3> o.w. ┌ 1 0 0 0 ┐ Set Y = X*T , where T = │ 0 0 1 0 │ (or other portable matrix) │ 0 1 0 0 │ └ 0 0 0 1 ┘ choose [v3 v4] = T*S , where S can be used the above method to get by solving Y*S = [0]_2 ps: I_n := n by n identity matrix ===== 若原po只想針對 4維空間的 case 可以參考 multiple view geometry 的作法在 projective space 下, 將 v1,v2 視為 points (或 planes) 而 L = [v1 v2] 看成是一條直線裡面有很多漂亮的性質可以用，套一下應該也能得到原po所需 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 175.98.124.34 ※ 編輯: doom8199 來自: 175.98.124.34 (02/28 13:49)

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