[線代] 對角化解題疑惑:基底順序
以下^皆代表上標。
Let T:R^3 -> R^3 be the linear transformation given by
T(x,y,z)=(3x-2y-2z, 2x-y-2z, 2x-2y-z)
Find a basis s.t. the matrix representation of T is a
diagonal form with respect to the found basis. (98中山應數)
解：(部分省略)
取γ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}為R^3之標準基底。
[3 -2 -2]
A= [2 -1 -2]
[2 -2 -1]
A的eigenvalue=-1,1,1
V(-1)=span{[1 1 1]^T}
V(1)=span{[1 1 0]^T, [1 0 1]^T}
取β={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1)}為R^3的一組基底，
s.t. [T]β=D=
[-1 0 0]
[ 0 1 0]
[ 0 0 1]
請問，如果我取的基底順序是這樣：
δ={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}
則[T]δ=D'=
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 -1]
這樣也算正確答案嗎？
Thanks!
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◆ From: 111.255.251.196
推
02/13 11:43, , 1F
02/13 11:43, 1F
剛用R語言驗算過，好像沒錯@@"
程式碼和結果：
z <- c(1,1,1,1,1,0,1,0,1) #基底β
dim(z) <- c(3,3)
y <- solve(z) #基底β的反矩陣
a <- c(3,2,2,-2,-1,-2,-2,-2,-1) #A=[T]γ
dim(a) <- c(3,3)
y %*% a %*% z #相當於P^-1AP=D
#結果：
[,1] [,2] [,3]
[1,] -1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1
w <- c(1,1,0,1,0,1,1,1,1) #基底δ
dim(w) <- c(3,3)
x <- solve(w) #基底δ的反矩陣
x %*% a %*% w
#結果：
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 -1
不同的"有序"基底對應的[T]會長得不一樣，
但是都同樣是對角矩陣...
所以基底的順序不影響答案囉？
簡單的說，我的問題是：
假設T屬於L(V,V)可對角化，dim(V)=n，λ1,...,λr為T的相異eigenvalue，
βk分別為V(λk)的基底(k=1 to r)
(以下U為聯集符號)
r
則β= U βk 為V的基底且[T]β=D為對角矩陣。
k=1
請問：此處之β中任意一行互相交換位置後，D仍然會是對角矩陣嗎？
(我認為這是對的，因為βiUβj相當於βjUβi，i和j可為任意指標)
推
02/13 15:31, , 2F
02/13 15:31, 2F
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02/13 15:57, , 3F
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※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.251.196 (02/13 19:13)