Re: [線代] 空間中體積
※ 引述《IAPIG (我一直是個幸運兒)》之銘言：
: 我是看到台大考古題
: Calculate the volume of the parallelepiped:
: p={ax+by+rz | a,b,c belones to [0,1] }
: spanned by x=(2,0,1,1,0) y=(0,0,2,1,2) z=(1,1,1,1,1)
: in the 5-dimensional real Euclidean space.
: 除了想請教各位大大怎麼計算之外，也希望知道背後的原理是什麼?
: 謝謝各位了 :)
如果你相信Gram-Schmidt不影響體積的話
假設S = (v_1 v_2 ... v_k)是k個vector在R^n中
令M_{ij} = (<v_i,v_j>), M是一個k by k matrix
Gram-Schmidt每一步都是
v_i <- v_i - <v_i, v_j>v_j/<v_j, v_j>
這個過程不影響M的determinant, 因為只是列運算+行運算
最後得到orthogonal basis, 假設叫做{e_1, ..., e_k}
這麼一來, det M = (|e_1| |e_2| ... |e_k|)^2
因此 sqrt{det M} 是答案, 計算的時候不需要Gram-Schmidt
註: 上述論證只有在確定Gram-Schmidt不影響體積的前提下.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
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