Re: [微積] 變分法求energy function的最小值
※ 引述《lin780222 (饅頭)》之銘言：
: 問題為求解energy function的最小值
: 跪求變分學達人QQ~為了解這道式子還看了交大開放式課程，但是只知道了求此道數學式子
: 需要用到Euler-Lagrange~help me plz O^Q
: 問題如下:
: http://ppt.cc/Tsr6
energy functional:
2 2 2 2
∫dxdy[μ(|▽u| + |▽v| ) + |▽f| |G - ▽f| ] = E
極值條件是δE = 0
這邊δ要變的是函數 u, v所以只有 x, y的 f不會被變到
δ的運算基本上跟 d 一樣(...嗯很sloppy地講)，平常怎麼做微分，
基本上就怎麼做變分
2 2 2 2
δ∫dxdy[μ(|▽u| + |▽v| ) + |▽f| |G - ▽f| ]
2
=∫dxdy 2[μ▽u。δ▽u + μ▽v。δ▽v + |▽f| δG。(G - ▽f) ]
這邊用到的性質如
2 2
δ|▽u| = ▽u。δ▽u 基本上就是微分的規則 d(f ) = 2f df
接下來運用 ▽跟δ可交換的性質，δ▽u = ▽δu
2
然後用分部積分把 ▽移到別人身上，▽u。δ▽u = - ▽ u δu
所以
2 2 2
δE = 2 ∫dxdy [-μ▽ uδu - μ▽ vδv + |▽f| δG。(G - ▽f) ]
2 2
= 2 ∫dxdy [(-μ▽ u + |▽f| (u - ∂f ))δu
x
2 2
+(-μ▽ v + |▽f| (v - ∂f ))δv ]
y
= 0
所以極值條件 δE = 0
2 2
會給出兩個運動方程式 -μ▽ u + |▽f| (u - ∂f ) = 0
x
2 2
-μ▽ v + |▽f| (v - ∂f ) = 0
y
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.241
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (01/14 13:13)
推
01/14 14:25, , 1F
01/14 14:25, 1F
→
01/14 14:26, , 2F
01/14 14:26, 2F
嗯，▽u跟δ▽u都是向量
2 2 2
|▽u| = ▽u。▽u = (∂u) + (∂u)
x y
δ(▽u。▽u) = 2[(∂u)δ∂u + (∂u)δ∂u] = 2 ▽u。δ▽u
x x y y
用向量寫比較簡潔XD
另外也是可以用 Euler - Lagrange equation直接微分
E = ∫L dxdy
運動方程式為
∂L ∂[ ∂L ]
Σ －－ - Σ －－[－－－－] = 0, u =u, v, x =x, y
i ∂u i ∂x [∂(∂u) ] 1, 2 1, 2
i i x
i
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (01/14 14:38)
推
01/14 17:01, , 3F
01/14 17:01, 3F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：