[其他] 數學歸納法的可用性

看板Math作者 (風大雨大)時間13年前 (2012/12/18 23:47), 編輯推噓6(6推 0噓 28→)
留言34則, 11人參與, 6年前最新討論串1/1
數學歸納法中的三部 n=1成立(或是起始值成立) 假設n=k成立 n=k+1也成立 則成立 我的問題是，如n^2 < 2^n n=1成立，但是n=2,3,4,5卻不成立，n>5之後成立。 這個問題中, n=2,3,4,5不成立是可見的。 但讓我懷疑，其他例子，是不是也會有類似的情況 像是n=100或是1000的時候不成立。 我們要怎麼證明數學歸納法可行，讓使用上能安心？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 85.216.26.154
推
12/19 00:22, , 1F
n^2<2^n k不能推k+1啊...
12/19 00:22, 1F
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12/19 00:23, , 2F
數歸法強調的是k推k+1的過程，它是一種演譯法
12/19 00:23, 2F
推
12/19 01:02, , 3F
可以使n=5成立 令n=k成立 重點在於要證明k+1成立
12/19 01:02, 3F
推
12/19 02:12, , 4F
歸納法只是其中一種證明法,不代表適用所有問題.
12/19 02:12, 4F
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12/19 02:12, , 5F
你的例子只能說,這種問題不適合用歸納法證.
12/19 02:12, 5F
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12/19 02:28, , 6F
當你真正就此題去做歸納法，你會發現起始值設定n=1，
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12/19 02:29, , 7F
從n=k成立推論到n=k+1也成立的過程，是無法成立的。
12/19 02:29, 7F
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12/19 03:43, , 8F
我不懂的是，我們看到一個似乎適用的狀況，也用了
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12/19 03:44, , 9F
要怎麼能保證他不會在n為一個很大的樹的時候突然
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12/19 03:44, , 10F
行不通? 因為以n^2<2^n的例子 只檢查n=1然後就做
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12/19 03:44, , 11F
也不會發現阿
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推
12/19 07:44, , 12F
這..不是檢查阿 而是要 "證明出" 來
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12/19 07:44, , 13F
當你 n 從夠大的值開始時 加上 n^2<2^n 的條件
12/19 07:44, 13F
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12/19 07:45, , 14F
應該可以 "證明出" (n+1)^2<2^{n+1}
12/19 07:45, 14F
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12/19 07:45, , 15F
但是你若沒有 "n夠大" 的那個條件 證不出來的
12/19 07:45, 15F
推
12/19 11:07, , 16F
1F已經回答了^^
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12/19 11:37, , 17F
所以我們是否也要證明2^n的上升速度比n^2快
12/19 11:37, 17F
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12/19 11:37, , 18F
才算是完整?
12/19 11:37, 18F
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12/19 12:16, , 19F
推suhorng.歸納步驟是要"證明"出來.歸納法有點像是程
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12/19 12:18, , 20F
式的遞迴呼叫.n=k+1成立的證明是由n=k成立得來,n=k成
12/19 12:18, 20F
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12/19 12:19, , 21F
立的證明是由n=k-1成立得來...最後發現是由基礎步驟
12/19 12:19, 21F
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12/19 12:20, , 22F
(通常是n=1)成立得來,而這就是你做歸納法需要"檢查"
12/19 12:20, 22F
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12/19 12:22, , 23F
基礎步驟的原因.整個過程就像所謂的"推骨牌"一樣,一
12/19 12:22, 23F
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12/19 12:22, , 24F
個倒,後面跟著倒.
12/19 12:22, 24F
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12/19 12:24, , 25F
所以歸納法換成白話說,就是"第一個倒"(基礎步驟)且"
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12/19 12:25, , 26F
前一個倒那麼下一個也會倒"(歸納步驟)推論得知"全部
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12/19 12:25, , 27F
都會倒"
12/19 12:25, 27F
推
12/22 20:22, , 28F
我的高中數學老師說的：「為什麼要用k？就是要表示
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12/22 20:23, , 29F
我的k不是特定值，而是你選任何一個整數丟進去都對」
12/22 20:23, 29F
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08/13 17:19, , 30F
前一個倒那麼下一個也會 https://noxiv.com
08/13 17:19, 30F
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09/17 15:14, , 31F
我不懂的是，我們看到一 https://daxiv.com
09/17 15:14, 31F
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11/10 11:10, , 32F
//daxiv.com https://noxiv.com
11/10 11:10, 32F
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01/02 15:11, 7年前 , 33F
才算是完整? http://yofuk.com
01/02 15:11, 33F
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07/07 10:24, 6年前 , 34F
立的證明是由n=k-1 http://yaxiv.com
07/07 10:24, 34F
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