[微積] 微分方程問題

看板Math作者 (we0328)時間13年前 (2012/12/13 18:41), 編輯推噓17(17推 0噓 22→)
留言39則, 8人參與, 6年前最新討論串1/3 (看更多)
請問要如何解這方程式的齊性解 {X^2*D^2+X*D+(X^2-1/4)I}y=X^3/2*cosx 這方程式的齊次解我是把y用u*x^-1/2代入算 但是在整理完後用尤拉柯西去解齊次 算出來後會變成 (m^2-m)x^m-1/2+m*x^-1/2+(x^2-1/4)x^m-1/2 常數項的X^2始終都沒辦法消除掉 是我的方法有誤嗎? 還是我有算錯嗎? 因為沒有人可以問 所以才跑來找個位幫忙,謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 120.105.18.86
推
12/13 18:56, , 1F
我沒記錯的話是貝索 要用power series解
12/13 18:56, 1F
推
12/13 19:38, , 2F
要用 Frobenius Method 去解可得 BesselJn,n= ±1/2
12/13 19:38, 2F
→
12/13 19:38, , 3F
#1EIL6v9s (Math) [ptt.cc] Re: [微積] 幾個微分方程
12/13 19:38, 3F
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12/13 19:39, , 4F
另解 #1D0xyW7L (Math) [ptt.cc] Re: [工數] 一題ODE
12/13 19:39, 4F
推
12/13 19:56, , 5F
此時α=0,β=1,λ=1,μ= ±(1/2)=> BesselJ[±1/2,x]
12/13 19:56, 5F
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12/13 19:58, , 6F
指標方程：r(r-1) + r - 1/4 = 0 => r= ±(1/2)
12/13 19:58, 6F
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12/13 19:59, , 7F
此時可以偷吃步：Let y(x) = x^(-1/2)z(x)
12/13 19:59, 7F
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12/13 20:01, , 8F
z(x)滿足z''(x)+z(x)=0 => z(x) = C1 cosx + C2 sinx
12/13 20:01, 8F
→
12/13 20:01, , 9F
yh(x) = x^(-1/2)(C1 cosx + C2 sinx)
12/13 20:01, 9F
推
12/13 20:06, , 10F
Let yp(x) = x^(1/2)(A cosx + B sinx) 代入原式
12/13 20:06, 10F
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12/13 20:07, , 11F
得到 2x^(3/2)(B cosx - A sinx) => A = 0 , B = 1/2
12/13 20:07, 11F
推
12/13 20:10, , 12F
y = x^(-1/2)[ C1 cosx + (C2 + x/2 sinx) ]
12/13 20:10, 12F
推
12/13 20:16, , 13F
Frobenius用Frobenius解Frobenius 奇哉奇哉
12/13 20:16, 13F
推
12/13 20:32, , 14F
樓上Heaviside Forbenius幫我解微方~XDD
12/13 20:32, 14F
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12/13 20:37, , 15F
有唷@@ 什麼時候??
12/13 20:37, 15F
推
12/13 20:38, , 16F
他是說兩個大師來幫他 哈哈哈
12/13 20:38, 16F
推
12/13 20:41, , 17F
我也只會微方@@"
12/13 20:41, 17F
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12/13 21:34, , 18F
謝謝幫忙,不過這題出現在參數變異法的習題中 卻要用
12/13 21:34, 18F
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12/13 21:36, , 19F
Frobenius這個方式卻是沒交過的,開始來慢慢的來理解
12/13 21:36, 19F
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12/13 21:36, , 20F
這過程 謝謝
12/13 21:36, 20F
推
12/13 21:39, , 21F
XD 參數變異法主要是求解yp的另一方法，結果還是一樣
12/13 21:39, 21F
推
12/13 21:41, , 22F
Heaviside用Heaviside解Heaviside 期待期待
12/13 21:41, 22F
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12/13 21:41, , 23F
恩 不過齊次解都解不出來了 yp因該就出不來了吧?
12/13 21:41, 23F
推
12/13 21:43, , 24F
#1G96RfA0 (Math) [ptt.cc] Re: [工數] 一題微分方程
12/13 21:43, 24F
推
12/13 21:44, , 25F
因變數變換法 (D'Alembert 降階法)
12/13 21:44, 25F
推
12/13 21:52, , 26F
P = x/x^2 = 1/x ; Q = (x^2 - 1/4)/x^2
12/13 21:52, 26F
→
12/13 21:55, , 27F
u = Exp[∫(-P/2)dx] = 1/√x
12/13 21:55, 27F
推
12/13 22:00, , 28F
R =x^(3/2)cosx/x^2,R/u=x^(3/2)cosx/x^(3/2) = cosx
12/13 22:00, 28F
→
12/13 22:01, , 29F
C = Q - P^2/4 - P'/2 = 1 => v'' + v = R/u = cosx
12/13 22:01, 29F
推
12/13 22:03, , 30F
v = C1 cosx + C2 sinx + x/2 sinx => y = uv
12/13 22:03, 30F
→
12/13 22:16, , 31F
降階法就容易懂得多了 差不多會下手了 謝謝
12/13 22:16, 31F
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12/13 22:19, , 32F
不過以上方法我們老師都沒講過 就跳去講拉普拉斯轉
12/13 22:19, 32F
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12/13 22:20, , 33F
換了
12/13 22:20, 33F
推
12/14 00:55, , 34F
我已經用過好幾次Heaviside cover-up method啦XD
12/14 00:55, 34F
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08/13 17:19, , 35F
得到 2x^(3/2) https://muxiv.com
08/13 17:19, 35F
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09/17 15:13, , 36F
樓上Heaviside https://daxiv.com
09/17 15:13, 36F
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11/10 11:09, , 37F
不過以上方法我們老師都 https://noxiv.com
11/10 11:09, 37F
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01/02 15:11, 7年前 , 38F
y = x^(-1/2 http://yofuk.com
01/02 15:11, 38F
→
07/07 10:22, 6年前 , 39F
z(x)滿足z''(x https://noxiv.com
07/07 10:22, 39F
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