Re: [中學] 證明不等式。
※ 引述《yurue0515 (給我一點p幣繳罰款 )》之銘言：
: 學科能力競賽試題
: x,y,z為正實數
: 證明
: 1 x y z 3
: --- < ----------- + ------------- + ----------- < ---
: 3 3x+y+z x+3y+z x+y+3z = 5
: 想一天了
1 x z
左式：--- = Σ ---------- < Σ --------
3 cyc 3x+3y+3z cyc 3x+y+z
右式：
(法一) 首先因為上下齊次，不妨令 x+y+z = 3
x 3
原式可改寫為 Σ ----- ≦ ---
cyc 2x+3 5
x 1 3x 3
利用代定係數法，可求出 ---- ≦ --- + ---- - ----
2x+3 5 25 25
x 3 3 9 3
∴Σ ----- ≦ --- + ---(x+y+z) - ---- = ---
cyc 2x+3 5 25 25 5
3 1
(法二) 把左右同減 --- ，其中左邊每項各分配 ---
2 2
1 x+y+z 9
有Σ- --- ------ ≦ - ----
2 3x+y+z 10
x+y+z 9
移項同乘2： Σ ------ ≧ ---
cyc 3x+y+z 5
1 1 1
再由柯西 [(3x+y+z)+(x+3y+z)+(x+y+3z)](------+------+------) ≧ 9
3x+y+z x+3y+z x+y+3z
化簡即是原式
(法三) 令 a = 3x+y+z , b = x+3y+z , c = x+y+3z
4a-b-c 4b-a-c 4c-a-b
所以有 x = -------- , y = -------- , z = --------
10 10 10
2 b+c 3
代回原式： Σ --- - ----- ≦ ---
cyc 5 10a 5
b+c 3
化簡 Σ --- ≧ --- ，
cyc 10a 5
3 1
兩邊同加 --- ，左邊各配---，同乘10
10 10
a+b+c
Σ ----- ≧ 9 ，柯西
cyc a
--
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