[分析] 請教看過Apostol與Zygmund測度的先進
目前學校用Zygmund教測度論、Lebesque integral
可是Zygmund這本沒有證明Lebesque integral的change of variables的章節
而Apostol的高微後面也有測度論、Lebesque integrable等等
(他有Lebesque integral的change of variables)
可是卻是跟Zygmund貌似不同
(當然,很多東西很像,像Apostol的upper function就像是Zygmund的simple function)
想請問Apostol用裡面的meausrable set(他是用特徵函數的積分定義)
與Lebesque integrable(他是用upper functions定義)
這些定義與Zymund的定義等價嗎???
(Apostol定義的順序:
1.upper functions → Lebesque integrable functions
2.upper functions → measurable functions → measurable set(S)
3.接著考慮S的特徵函數X,如果X_S是Lebesque integrable,則X_S在R^n上的黎曼積分
就定義成他的測度值,而Apostole的Lebesque integrable也是有限值
如果X_S沒有Lebesque integrable則定義測度值是無限大
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By the way, 之前大二修高微時最後有講到Jordan measurable set與measure zero set
Zygmund有measurable set與measure zero set
所以當時就猜Jordan measurable set就是Zygmund的measurable set
後來看到一件事情:measure zero set不一定Jordan measurable
可是我們知道在Zygmund的定義中 measure zero set就是measurable
所以顯然Jordan measurable set與Zygmund的measurable set是不一樣的
(大二高微定義的measure zero set應該與Zygmund的等價 之前好像有證過)
所以至此,我們有三個measurable set(S)的定義
1.Zygmund:for all a>0, there exists open G covering S, s.t.│G\S│e < a
2.Apostol:X_S is measurable functions(此measurable function是by Apostol定義)
3.Jordan measurable set:X_S is Riemann integrable on R^n
感謝解惑...內文有點長...拍謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.171.10.123
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.10.123 (11/07 23:45)
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會想問這個主要是因為:(下面講的都是R^n)
我大二高微課本是用Marsden,它的變數變換定理是基於黎曼積分與喬丹可測
而我學了Zygmund後 發現可測跟喬丹可測不是等價的...
所以我又去翻了Apostol,它在講黎曼積分時也確實是用喬丹可測去做的
可是它沒有講黎曼積分的變數變換定理,確有講Lebesgue積分的變數變換定理
可是他的Lebesgue積分所用到的可測觀念與定義,跟Zygmund差很多
(或許等價吧!所以才會有這篇文...)
所以我去翻Zygmund,發現它沒寫變數變換定理= =
上網找的時候,隨便找都有,可是我找到的幾篇根本沒說他是用什麼測度定義...
目前我是猜
1.多維黎曼積分要在Jordan可測下討論,不要在Lebesgue可測下討論
2.Apostol的測度論與可測函數那些東西,與Zygmund等價,所以用Zygmund的定義
我仍然有Apostol寫的Lebesgue變數變換定理
最後是我找最久的東西...我怎麼找都只有一維空間的黎曼積分與Lebesgue積分的關係
也就是說,一個有界函數在一個閉區間上黎曼可積則Lebesgue可積 且值一樣
有沒有R^n空間的!!?? 聽老師講說真正在算的出來 大部分都是黎曼積分
所以如果有條件描述在R^n的子集上黎曼積分與Lebesgue積分的關係 那就很完美了
意思是: if S是R^n的子集, f:S→R, some conditions holds
then f在S上的黎曼積分存在且等於Lebesgue積分
or f在S上的Lebesgue積分存在且等於黎曼積分
感謝...@@"
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.13.40 (11/08 13:24)
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