Re: [中學] 圓面積
※ 引述《wayne1229 (wayne)》之銘言：
: 想請問一題數學
: k =/= -1
: C: (k+1)x^2 + (k+1)y^2 - 2kx + 2ky - 4 = 0 恆過 A.B兩點
: 則過A.B兩點面積最小的圓方程式為何?
: 謝謝!
相交圓系。
sol:原方程式: k(x^2+y^2-2x+2y) + (x^2+y^2-4) = 0
可記作 k*C1(P) + C2(P) = 0.........(1)
C1(P) = C1(x,y) = x^2+y^2-2x+2y
C2(P) = C2(x,y) = x^2+y^2-4
如果無論k值為何，(1)等號在 A,B 兩點都要成立
那就只可能是 C1(A)、C1(B) 恆等於零
只要有一處不等，改變k值，(1)式的等號就會破功。
將此結果代回(1)式，得 C2(A) 與 C2(B) 也恆等於 0
方程式 C1 = 0 → (x-1)^2 + (y+1)^2 = 2
C2 = 0 → x^2 + y^2 = 4 皆為圓形
畫圖易知 C1=0 與 C2=0 兩圓交於 A(2,0) 與 B(0,2)
(這兩點同時滿足 C1=0 與 C2=0，故亦滿足原方程式)
並且 C1 = 0 的圓心為 (1,-1) 剛好是就以這兩點為直徑的圓方程式
因直徑最短，面積也最小。
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10/22 15:03, , 1F
10/22 15:03, 1F
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