[中學] 稠密性

看板Math作者 (我只是打工的)時間13年前 (2012/09/14 00:29), 編輯推噓15(15推 0噓 22→)
留言37則, 14人參與, 最新討論串1/1
請問稠密性的意思到底是？ 我自己的解讀是很多很多，多到很密 所以想成有無限多個 證明：有理數的稠密性 各版本的書中證明是以任兩個有理數a,b間 (a<b)_ 都存在有理數c，使得a<c<b-------(*) 我的問題是，這樣的敘述嚴格來說是不是只說明了 a,b間有一個有理數 要證明無限多的話應該另外證？ 我想說的是 設有理數a,b間只有k個有裡數 a_1~a_k 則由(*) 在a與a_1間存在有一有理數c 使得a<c<a_1，與假設矛盾 故在a,b間有無限多個有理數 是因為這段證明太trivial高中沒說明 還是其實不需要？ 麻煩大大們幫忙~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.27.206.83
推
09/14 01:20, , 1F
你是問高中?
09/14 01:20, 1F
嗯 我是問高中
推
09/14 01:27, , 2F
因為太trivial...
09/14 01:27, 2F
但證明不是應該寫完整嗎 如果是證明題 還是要寫出來吧？
推
09/14 02:08, , 3F
a b中間可以存在一個c1 a跟c1中間又存在一個c2
09/14 02:08, 3F
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09/14 02:16, , 4F
a b中間可以存在一個c1 a跟c1中間又存在一個c2
09/14 02:16, 4F
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09/14 02:16, , 5F
for any N 都可以找到N+1 所以有無限多個
09/14 02:16, 5F
數學歸納法@@? ※ 編輯: k32314282 來自: 114.27.206.83 (09/14 05:42)
推
09/14 07:19, , 6F
假設有限個 導出矛盾
09/14 07:19, 6F
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09/14 09:14, , 7F
稠密的定義就是對於任意a,b a<b存在c a<c<b
09/14 09:14, 7F
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09/14 09:15, , 8F
09/14 09:15, 8F
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09/14 09:15, , 9F
你說的中間有無限多個 是可以證明 但不在定義裡
09/14 09:15, 9F
我只是不確定稠密(dense)的定義 感謝回答^^
推
09/14 09:26, , 10F
如果有限多個你就可以再找到一個阿
09/14 09:26, 10F
我知道 我的問題是 需不需要證明 1>0也要證明
推
09/14 09:54, , 11F
在某個區間中無限多個不一定稠密吧......??
09/14 09:54, 11F
我有點不太懂你的意思 a,b是任意有理數 謝謝大家幫我釐清~ ※ 編輯: k32314282 來自: 114.27.206.83 (09/14 11:00) ※ 編輯: k32314282 來自: 114.27.206.83 (09/14 11:01) ※ 編輯: k32314282 來自: 114.27.206.83 (09/14 11:25)
推
09/14 11:26, , 12F
樓上意思應該是 像整數無限多個 可是並非稠密?
09/14 11:26, 12F
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09/14 11:28, , 13F
可以假設有限個 從小到大a1 a2 .... 可是an an+1
09/14 11:28, 13F
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09/14 11:28, , 14F
中間沒有其他有理數　這樣不符合稠密性定義　　？
09/14 11:28, 14F
嗯嗯 我有以有理數的稠密性當例子 整數我知道沒有
推
09/14 12:08, , 15F
稠密可以看成到處都有的意思
09/14 12:08, 15F
所以...你回答哪個問號XD? ※ 編輯: k32314282 來自: 114.27.206.83 (09/14 13:16)
推
09/14 15:21, , 16F
有理數Q稠密於實數R 才是完整敘述 .
09/14 15:21, 16F
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因為有理數的閉包等於實數 ,所以滿足稠密的定義 .
09/14 15:21, 17F
推
09/14 15:57, , 18F
樓上高手XD [補充]只要說明任意a,b之間都有有理數
09/14 15:57, 18F
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09/14 15:58, , 19F
就等同於說明兩有理數之間會有無限多的有理數啦~
09/14 15:58, 19F
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09/14 16:38, , 20F
nomo大講的是拓樸中的稠密 高中生提到的稠密明顯不是
09/14 16:38, 20F
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09/14 16:39, , 21F
這層涵義 而是順序上稠密 我貼的維基百科已經很清處
09/14 16:39, 21F
推
09/14 18:40, , 22F
高微理面也有這個證明 先證有禮數相除為有理數
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09/14 18:42, , 23F
在來證明任一ab兩點間 存在(a+b)/2為有理數
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09/14 18:44, , 24F
因此對有理數ab必找得到至少一有理數包含在區間內
09/14 18:44, 24F
推
09/14 22:45, , 25F
dense in R才完整 如果稠密是dense的話
09/14 22:45, 25F
推
09/14 23:13, , 26F
「任意兩相異有理數之間，必存在一有理數。」是可以
09/14 23:13, 26F
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09/14 23:14, , 27F
得到有理數稠密的概念，但就字面上來看，我同意原po
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09/14 23:14, , 28F
的想法。課本應該多說明一下其意義及延伸
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09/14 23:15, , 29F
光是這句話，似乎沒有稠密的「感覺」，只有延伸說明
09/14 23:15, 29F
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09/14 23:15, , 30F
才能道出其味
09/14 23:15, 30F
感謝各位的解釋^^ 由於是在高一數學中遇到的問題 用到拓樸就太深了XD ※ 編輯: k32314282 來自: 61.227.43.1 (09/14 23:19)
推
09/14 23:24, , 31F
雖然多到很密 不過在數線上的分佈還是坑坑洞洞的～
09/14 23:24, 31F
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09/14 23:24, , 32F
有點像漁網一樣
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09/14 23:56, , 33F
樓上說的，因為R是seprable才密密麻麻卻又坑坑洞洞的
09/14 23:56, 33F
推
09/15 14:58, , 34F
舉個例子 腳踏車的稠密性就是
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09/15 14:58, , 35F
任兩台腳踏車中間 一定可以再插進一台腳踏車
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08/13 17:05, , 36F
dense in R才 https://muxiv.com
08/13 17:05, 36F
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09/17 15:00, , 37F
「任意兩相異有理數之間 https://daxiv.com
09/17 15:00, 37F
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