[工數]向量
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言:
※ 引述《dqIpb (dqipb)》之銘言:
: 想請問一下 課本提到以下這三個等式
: 1) ▽ ×(F ×G) = (▽.G)F + (G.▽)F - (▽.F)G - (F.▽)G
: 2) ▽(F.G) = F ×(▽ ×G) + G ×(▽ ×F) + (F.▽)G + (G.▽)F
: 3) ▽ ×(▽ ×F) = ▽(▽.F) - ▽^2 F
: 有沒有比較有規則的推導方式呢? 除了兩邊展開相等以外?
: 因為像
: ▽ ×(▽ψ) = 0, ▽.(F ×G) 等許多等式在 differential forms 的符號下會變成
: d^2ψ = 0
: ▽.(F ×G) (▽ ×F).G - F.(▽ ×G)
: d(λ_F ^ λ_G) = dλ_F ^ λ_G - λ_F ^ dλ_G
: 很有規律...(λ_F, λ_G 是與向量場 F, G 相關連的 1-form)
important identity
ε_{ijk}ε_{kmn}=δ_{im}δ_{jn}-δ_{in}δ_{jm}
hence
A^(F^G) = A F G - A F G = (A.G)F-(A.F)G
|---| |-|
where |---| means contraction
then
▽^(F^G)= ▽ F G - ▽ F G
|----| |--|
= (▽ F) G + F (▽ G) - (▽ F) G - F (▽ G) [Leibnitz rule]
|-----| |--| |--| |---|
= (G.▽)F+(▽.G)F-(▽.F)G-(F.▽)G
▽(F.G) = ▽ F G
|--|
= (▽ F) G + F (▽ G) = G (▽ F) + F (▽ G)
|--| |-----| |-----| |-----|
But
G^(▽^F) = G ▽ F - G ▽ F
|----| |--|
Hence
▽(F.G) = G^(▽^F) + G ▽ F + F^(▽^G) + F ▽ G
|--| |--|
= F^(▽^G) + F (▽.G) + G^(▽^F) + G (▽.F)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 27.147.57.77
※ 編輯: JohnMash 來自: 27.147.57.77 (05/30 19:47)
推
05/30 20:08,
05/30 20:08
推
05/30 20:11,
05/30 20:11
推
05/30 20:12,
05/30 20:12
推
05/31 05:37,
05/31 05:37
→
05/31 05:37,
05/31 05:37
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 27.147.57.77
討論串 (同標題文章)