Re: [其他] 請問有無人看過 Zorich 寫的數學分析

看板Math作者 (翔爸)時間13年前 (2012/07/24 20:33), 編輯推噓28(28推 0噓 15→)
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※ 引述《BaBi (梅花香自苦寒來)》之銘言： : 如題, 由於暑假時間還算充裕, 想涉略有關於數學分析（高等微積分） : 領域的書籍, 在這之前對於基礎數學已有修習過, 大一初等微積分也學 : 的算是透徹, 再修習初微時是用 Adams 的《Calculus: A Complete Course》 : 搭配著 Courant & John 的《Introduction to Calculus And Analysis》 Volume 1 : 一起看, 其中若有涉及較深的部分也有拿 Apostol 來作參考. : 但由於只是如此蜻蜓點水般的查閱, 沒有詳讀, 想請問一下板友一些問題... : 除了如題想問 Zorich 這本書之外（因為板上多半是推薦 Apostol. Rudin. : Marsden. Wade） Zorich似乎較少被人提及, 但之前有問過教授, 他列出的 : 書單中有這一本, 不知道板上對這本的評價如何? : 再來就是以我目前狀況, 因為並非數學系本科出身, 只是對於這方面有興趣, : 請問是否需要在自學高等微積分之前, 將 C&J 的書再次翻閱呢? : （因為我會搭配著交大開放式課程白啟光老師的影音檔, 但該課程選用書籍 : 是 Rudin 的, 實在是....有些難以下嚥@@） : 問題有點多, 麻煩各位板友了... Zorich這本書的介紹大概是所有上述你列的書裡面內容最廣的一套書(共兩本)。我以前覺 得Apostol講多變數微積分沒提differential form有點可惜，並且Apostol的多變量微積 分的部份我個人並不太喜歡，而Rudin的書有點過於抽象，但他函數空間的部分寫得最好， 很值得讀。Marsden是一本適合自學的書，所以比較淺一點，然而他的多變數微分隱函數 定理的部分講的比Rudin好，Rudin的這部分寫的太抽象。然而Zorich的書應該是克服了這 些缺點寫出來的兩本書，難易適中，同時他的多變量微積分是講的非常好的。缺點或許就 如同艾迪胥講的，習題比較少。而習題的部分可以透過Apostol跟Rudin補強。 Zorich寫書的風格就是俄羅斯人寫書的風格，你不會在裡面看到很多習題。但是俄羅斯人 在陳述數學的直觀性是相對來說比其它國家的人厲害多了。Rudin是比較老派的抽象分析 學，所以它的抽像化讓人覺得分析學距離微積分非常遠，但高微，或數學分析，最主 要要處理函數空間上的微積分，通常這些函數空間都是一些Banach space或是Hilbert space。高等微積分學的發展跟當初量子物理學的公設化有著很大的關聯性。早期，數學家 為了解決微分方程的理論發展了積分方程的理論，而線性積分方程就是函數空間上的 微積分與線性代數理論。例如，積分方程 f(x)=g(x)+λ∫k(x,y)f(y)dy 可以把它視為 f= g+λAf 其中A是積分算子f->∫ k(x,y)f(y)dy。於是我們就把問題改寫成 (1-λA)f=g=> f=(1-λA)^(-1) g。而要如何去定義(1-A)^-1?透過初等微積分的想法，利用等比級數展開 (1-A)^-1=1+A+A^2+.... 也因此你就必須考慮在無限維空間上定義收歛的概念。先有了函數空間的範數的概念後， 把這概念推廣到一般的集合上，就產生了metric space的概念。但為了要處理一些方程 你必須要讓Cauchy sequenece有極限，因為積分方程的解與微分方程的解常常是必須要 透過科西列的建構才有辦法完成。例如，當A是矩陣的時候，我們驗證 S_n=1+A+A^2/2!+....+A^n/n! 構成一個科西列{S_n}，在利用空間的完備性，我們得知這個科西列的極限存在，所以 我們就把極限記為e^A。 這也是為什麼一開始的時候，高等微積分的內容是講metric space，因為定義極限是需要 距離的概念。(當然拓樸空間也可以給出極限的定義，但這已經超出高微的範疇)。 而完備空間是為了給科西列極限，這麼一來，微分方程的解就可以透過科西列去構造。 例如 x'(t)=f(t,x), x(a)=b 兩邊積分後 x(t) =b+∫ f(u,x)du。於是我們就把這積分方程看成是某個函數空間上得 映射。 T: x-> b+∫f(u,x)du 所以處理微分方程的解就成為映射T(x)=x的不動點的存在性。如果你的映射T視所謂的壓 縮映射。你利用跌代的方式 x_{n+1}=T(x_n) 定義出了函數空間上得"科西列"，並且如果你的空間是完備的，你就可以從科西列的極限 構造出T的不動點，也就是微方方程的解。 拓樸是用來讓你陳述"數列如何收斂"用的，因為他告訴你空間跟點的相對位置，當你改變 點附近的區域時，你的數列仍然落在這區域裡頭，那麼你知道點的鄰域控制著數列的行 為。 所以高等微積分的目的就是為了處理函數空間上得微積分而來的，即便是多變量的微積分 也是為了變分學與微分流形上的微積分產生的。所以Zorich的書後面談了differential form與Differentiable Manifold。 如果讓我教高微，我應該會用這本書，然後習題指定Apostol還有Rudin。 Apostol為何是好書，因為它難易適中，習題很多。 過分的強調抽象的證明而失去了數學的值觀未必是好事，數學是先有了直覺，才去想辦法 嚴謹的證明。通常看俄羅斯人的書，都要搭配個幾本比較嚴謹寫作的書。我想，Zorich的 書應該很值得收藏(如果你有錢)。 我也挺喜歡Folland寫書的風格，習題也都編很好。 如果想看數學分析，暑假大概要看完很難。把Apostol或是Marsden的點拓拿來做做題， 其實就很夠了。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 193.51.104.23 ※ 編輯: herstein 來自: 193.51.104.23 (07/24 21:02)
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為何俄羅斯人在陳述數學直觀上特別厲害啊？ 好奇
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訓練
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推
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送啦! 胡說八道釣出專業的
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你說的不錯呀，只是我補充一下Zorich的書內容而已XD
推
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推
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感謝兩位板大的說明
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推
07/24 21:48, , 7F
推
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推
07/24 22:54, , 8F
一推再推
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07/24 23:23, , 9F
h大文必推！
07/24 23:23, 9F
推
07/24 23:40, , 10F
!
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推
07/25 02:11, , 11F
好文有看有推!!
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推
07/25 02:33, , 12F
我也覺得Zorich很棒 以前在某篇推文推薦過結果沒人理
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他多變數那邊提到許多在物理的應用 滿有趣的
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好文 長知識 x(t) = "b?" + ∫ f(u,x)du
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True^^
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不過俄國人的書寫法還是和歐美不同 要適應
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推
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推
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我覺得應該是幾乎沒有學校上課用過這本書的緣故吧
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台灣應該沒有甚麼人注意到這本書?
推
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強者我大學同學阿~~ 推~
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推
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好文
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※ 編輯: herstein 來自: 193.55.36.60 (07/25 11:57)
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07/25 12:23, , 20F
我知道這一本書也是無意間逛到PRC那邊的網站上看到的
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推
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強者H大 推
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推
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不知道俄羅斯人怎麼訓練的,出過很多大科學家/數學家
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推
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還有俄羅斯數學家解開世界7大難題後,不領100萬美金的
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也不去領菲爾茲獎
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(1)看別人的東西時，先把精神看懂，細節不用管太多，先看懂到底在講甚麼。 (2)學一個東西先學會算，證明先不管他。 (3)數學是討論出來的。 (4)俄羅斯人會互相幫忙，不同領域間的交流很平凡。 (5)俄羅斯人常常會聚在一起打排球，IHES暑假有一桌都是俄羅斯人，這一桌人 下午就會打排球，號稱俄羅斯排球隊 (6)不少俄羅斯數學家都參加過奧數，會說某某數學家是跟我同一屆(奧數)的。 (7)美女很多 俄羅斯有數學的傳統，所以他們所建立起來的數學圈子，台灣大概差了幾十年有。 ※ 編輯: herstein 來自: 193.51.104.23 (07/26 00:41)
推
07/26 00:45, , 25F
(2)很棒 我也都想這樣 但修課都要把大定理證明背起來
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結果背了半天還是對這科沒什麼感覺
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(7)也很棒
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最後都是修完課自己繼續唸才逐漸搞懂 (7)更棒
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唉呀 慢了一步
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(4)其實很重要，因為在台灣不太看得到XD
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(7)可以讓我們有很快樂的學習環境...
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推
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推(1) (2) (3) (4) (7)
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推
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推
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推
07/27 05:06, , 34F
募集台灣排球隊 (離題)
07/27 05:06, 34F
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07/27 06:03, , 35F
台灣人要互相幫忙~~~互相支持學術
07/27 06:03, 35F
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07/27 06:03, , 36F
其實像那樣聯絡感情蠻好的
07/27 06:03, 36F
推
07/27 10:17, , 37F
專業好文, 而且 (1)-(7) 都很棒 (筆記ing... :P)
07/27 10:17, 37F
推
07/27 13:59, , 38F
專業好文…（筆記）
07/27 13:59, 38F
推
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專業推 搞得我也想去俄羅斯讀數學XD
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有名的俄羅斯人都不在俄羅斯內XD
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推
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(7)可以讓我們有很快樂的學習環境> <
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為何俄羅斯人在陳述數學 https://noxiv.com
08/13 16:59, 42F
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09/17 14:55, , 43F
//noxiv.com https://daxiv.com
09/17 14:55, 43F
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