Re: [中學] 競試題目
※ 引述《mathtype (ψ 綻 藍 )》之銘言：
: 12的平方 + 33的平方 = 1233
: 若限定和的結果為四位數,則類似的情況有哪些?
x^2 + y^2 = 100x + y
(1)=> y^2 - y = 100x - x^2 = -(x-50)^2 + 2500 ≦ 2500
=> y^2 ≦ 2500 + y ≦ 2599
=> 10 ≦ y ≦ 50
(2)=> x(100-x)=y(y-1)必為偶數 => x必為偶數 => y(y-1)=x(100-x)必為4的倍數
=> y=4k or 4k+1
Case I:( y=4k & 10 ≦ y ≦ 50,是否存在x滿足y(y-1)=x(100-x) )
y=12 y(y-1)=12*11=2*66 NO
y=16 y(y-1)=16*15=2*120=4*60 NO
y=20 y(y-1)=20*19=2*190=4*95 NO
y=24 y(y-1)=24*23=2*276=4*138=6*92 NO
y=28 y(y-1)=28*27=2*378=4*189=6*126=12*63 NO
y=32 y(y-1)=32*31=2*496=4*248=8*124=16*62 NO
y=36 y(y-1)=36*35=2*630=4*315=6*210=10*126=12*105=14*90=18*70 NO
y=40 y(y-1)=40*39=2*780=4*390=8*195=10*156=20*78 NO
y=44 y(y-1)=44*43=2*946=4*473=44*43 NO
y=48 y(y-1)=48*47=2*1128=4*564=6*376=8*282=12*188=16*141=24*94=48*47 NO
Case I:( y=4k+1 & 10 ≦ y ≦ 50,是否存在x滿足y(y-1)=x(100-x) )
y=13 y(y-1)=13*12=2*78 NO
y=17 y(y-1)=17*16=2*136=4*68 NO
y=21 y(y-1)=21*20=2*210=4*105=6*70 NO
y=25 y(y-1)=25*24=2*300=4*150=6*100=8*75 NO
y=29 y(y-1)=29*28=2*406=4*203=14*56 NO
y=33 y(y-1)=33*32=2*528=4*264=6*176=8*132=12*88 YES
y=37 y(y-1)=37*36=2*666=4*333=6*222=12*111=36*37 NO
y=41 y(y-1)=41*40=2*820=4*410=8*205=10*164=20*82=40*41 NO
y=45 y(y-1)=45*44=2*990=4*495=10*198=18*110=22*90=44*45
y=49 y(y-1)=49*48=2*1176=4*588=6*392=8*294=12*196=14*168=16*147=24*98=28*84
=48*49 NO
y=33 x=12 or88
=> 12^2+33^2=1233 or 88^2+33^2=8833 兩組解
提供另一種解法
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