Re: [代數] 請教函數題目
※ 引述《TAKITAKI (小可兔)》之銘言：
: Σ n^2 * x^(n-1)
: summation n從1到無窮大
: 0< x <1
: 這樣這個式子應該會收斂到多少呢?
∞
S1(x) = Σ n * x^(n-1)
n=1
∞ ∞
x S1(x) = Σ n * x^n = Σ(n-1) * x^(n-1)
n=1 n=2
∞
(1-x) S1(x) = 1 + Σ x^(n-1) = 1 + x + x^2 + ... = 1/(1-x)
n=2
S1(x) = 1/(1-x)^2
∞
S(x) = Σ n^2 * x^(n-1)
n=1
∞ ∞
x S(x) = Σ n^2 * x^n = Σ(n-1)^2 * x^(n-1)
n=1 n=2
∞ ∞
(1-x) S(x) = 1 + Σ(2n-1) * x^(n-1) = 2 + (2Σn x^(n-1) ) - (1+x+x^2+...)
n=2 n=2
= 2 + 2(S1(x)-1) - 1/(1-x) = (1+x)/(1-x)^2
S(x) = (1+x)/(1-x)^3
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◆ From: 163.22.18.20
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04/29 17:20, , 1F
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04/29 21:10, , 2F
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