[線代] 關於A X (B X C)=(A˙C)B-(A˙B)C
關於這個等式的證明
請問有沒有非設座標(設A=(a1,a2,a3),...)的證法> <
(以下打的大寫英文代表向量，小寫英文代表常數(係數積))
目前有兩個想法
想法1
假設B,C不平行
設A X (B X C)=sB + tC(由定義)
兩邊同時內積A
可得0=s(A˙B) + t(A˙C)
但列不出另外一條解s,t
也不能亂代A,B,C因為不確定s,t和A,B,C是否有關(當然最後發現是無關的)
有想過既然確定s,t比例就確定A X (B X C)的方向了但不確定長度
可是等式兩邊同時取長度左邊很醜Orzzzz
於是就卡住了XD
想法2
可以假設A在BC平面上
(因為A的垂直平面BC的component對等式兩邊貢獻都是零)
假設B和C不平行
所以可以設A=xB+yC
可得
A˙B=x(B˙B)+y(B˙C)
A˙C=x(B˙C)+y(C˙C)
解聯立得
x=[(A˙C)(B˙C)-(C˙C)(A˙B)]/[(B˙C)(B˙C)-(B˙B)(C˙C)]
y=[(A˙B)(B˙C)-(B˙B)(A˙C)]/[(B˙C)(B˙C)-(B˙B)(C˙C)]
而A X (B X C)=(xB + yC) X (B X C)=xB X (B X C) + yC X (B X C)
然後根據定義B X (B X C)會在BC平面上
根據畫圖B X (B X C)會和C在B的不同側
(這邊我有個疑惑，就是有沒有更精確的說法說明他們兩個會不同側)
所以B X (B X C)會和[(C˙B)/(B˙B)]B - C平行且同向
考慮長度後知B X (B X C)=(C˙B)B - (B˙B)C
然後代回xB X (B X C) + yC X (B X C)並把x,y代掉即可得原等式成立
關鍵就是不確定B X (B X C)的化簡有沒有更好的解釋方法
(我不想用設component的方法爆開> <)
所以想請問大家有沒有更好的證法或想法呢XD
感謝大家耐心看完^^
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