Re: [高微] cos(nx) 是否有均勻收斂子列？
※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 標題: Re: [高微] cos(nx) 是否有均勻收斂子列？
: 時間: Thu Mar 1 05:29:29 2012
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: ※ 引述《iddee ()》之銘言：
: : f_n(x) = cos(nx) on R, n >= 1，
: : 問函數列 {f_n} 是否有均勻收斂的子函數列？
: : 感覺沒有，請問要怎證呢，@@?
:
: 剛想出來一招不知有不有錯。假設有，叫那個子數列是 f_p(n)
:
: cos[p(n)x] -> f(x) uniformly
:
: f is integal on [0,pi]
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: cos[p(n)x] * cos[p(n+1)x] -> f^2(x) uniformly on [0,pi]
f_n(x) , g_n(x) are uniformly Cauchy
並不一定代表f_n(x)g_n(x)就是uniformly Cauchy
不過此處因為f_n與g_n都是一致有界，所以確實f_n(x)g_n(x)就是uniformly Cauchy
:
: π π
: ∫ cos[p(n)x]cos[p(n+1)x] dx ---> ∫ f^2 dx
: 0 0
:
: 左邊積分是 0 => f 是零函數
:
: 但取 x=0 時 cos[p(n)x] -> 1 as n -> oo，矛盾。
: 故無均勻收斂子列。
提供另外一個作法~
假設存在一均勻收斂子函數列f_an(x) , 均勻收斂到f(x)
1.f_an(x)連續，所以f連續
b b
2. lim S f_an(x)dx存在且等於 S f(x)dx
n→inf a a
b 1 │b
而S f_an(x) = ──sin(an*x)│
a an │a
當n→inf，其值為零
b
所以S f(x)dx = 0
a
之後因為這個a,b是for all a,b是實數，a<b
且因為f連續，如果f不是零函數，則存在一點不等於零(假設大於零)
藉由連續性，一定存在一個有界閉區間使得f都大於0
再用極值定理去說明存在最小值m>0
然後把[a,b]取在這個區間內即得矛盾
3.f是零函數與x=0帶進去牴觸
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