Re: [微積] 100清大生科丙組
※ 引述《peanutrice (花生米)》之銘言：
: 請問第七題：
: Given n points M_i(x_i,y_i,z_i) , i = 1,2...,n
: Find a point P on the sphere x^2+y^2+z^2 = 1
: n ─
: s.t. Σ (PM)^2 is minimum
: i=1
: -----------------
: 用Lagrane 做過
: 可是有n+1條變數...好多
: 感謝
Lagrange 可以做出來, 其實也只有 x,y,z,λ 是變數, 其他很多的是給定數不是變數
不過這題有更簡單的方法
Σ (PM)^2 = Σ [ (x-xi)^2 + (y-yi)^2 + (z-zi)^2 ]
= Σ [ x^2+y^2+z^2 -2xxi -2yyi -2zzi + xi^2+yi^2+zi^2 ]
= Σ [ 1 -2xxi -2yyi -2zzi + xi^2+yi^2+zi^2 ]
= n + Σ [ xi^2+yi^2+zi^2 ] - 2 [ x Σxi + y Σyi + z Σzi ]
其中 n 和 Σ [ xi^2+yi^2+zi^2 ] 都是定值,
所以只要求 [ x Σxi + y Σyi + z Σzi ] 之 max 即可
可用柯西不等式 [ x Σxi + y Σyi + z Σzi ]^2
≦ [ x^2 + y^2 + z^2 ][ (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2 ]
= (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2
所以 Σ [ xi^2+yi^2+zi^2 ] ≦ √[ (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2 ]
Σ (PM)^2 ≧ n + Σ [ xi^2+yi^2+zi^2 ] - 2√[ (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2 ]
等號成立於 x : y : z = Σxi : Σyi : Σzi 之時, 代入 x^2+y^2+z^2 = 1
得 x = (Σxi)/√[ (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2 ]
y = (Σyi)/√[ (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2 ]
z = (Σzi)/√[ (Σxi)^2 + (Σyi)^2 + (Σzi)^2 ]
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剩下上式分母為 0 的情況, 這很簡單就省略了
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◆ From: 42.74.0.243
推
02/12 05:06, , 1F
02/12 05:06, 1F
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