Re: [線代] 台大100線代 3.5.
※ 引述《silentsecret ()》之銘言：
: http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/graduate/100/100056.pdf
: 請問第三題與第五題要怎麼做?
: 第三題沒頭緒...
: 第五題的題目說是實矩陣，可是特徵值是複數，怎麼辦...
: 請高手解答，謝謝!!
(3)在V上定義<f,h>=Σ_i f(i)h(i)，可以驗證<,>是V上的內積。
考慮T(f)=∫_[0,1]f(x)g(x)dx，那麼T是V上的線性泛涵，
由Riesz表現定理可知，存在唯一屬於V的h使得
T(f)=<f,h>
此時a_i=h(i)。
反知，你可以定義
<f,g>=∫_[0,1]f(x)g(x)dx,
那麼<,>在V上是內積，你定義T(h)=Σ_i a_if(i)
同理利用Riesz表現定理可以得到結論。
(5)x^2+1=0是A的最小多項式，理由就在於A是實矩陣。
那麼A是可對角化的，且i,-i是特徵值。你再想想就可以
知道所有的A的Jordan form啦(或Jordan Block)
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◆ From: 88.77.138.154
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02/06 12:27, , 3F
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有限維的比較簡單
假設T是V上的線性泛涵，<,>是上的內積。
任取一組V上的直交基底v_1,...,v_n。
那麼記c_i=T(v_i)，則
T(Σ_i b_i v_i)= Σ_i b_i c_i
=<Σ_i b_iv_i, Σ_i c_iv_i>
換句話說呢，如果取 g = Σ_i c_iv_i，那麼
T(h)=<h, g>
証明了存在性。
要証明唯一性很簡單，假設對任意的h恆有<h,g>=<h,g'>，
令g''=g-g'，則<h,g''>=0, forall h.
那麼只要取h'=g''=> <g'',g''>=0。由內積的性質可知g''=0
也就是說g=g'。
推
02/06 15:35, , 5F
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※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (02/06 21:17)
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