[其他] 0^0=1與連續性的關係

看板Math作者 (Sebastian)時間14年前 (2011/12/23 01:03), 編輯推噓18(18推 0噓 31→)
留言49則, 13人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
我要說的不是「z├→ z^0 這個映射是連續的」， 其實是我曾提過但沒說清楚的事情，應該可以算新論點吧。 首先我們看一個集合：{真,假}，賦予離散拓樸後成為拓樸空間。 再來我們就看Ｃ（複數體）吧，賦予拓樸Ｔ＝{empty,Ｃ,Ｃ－{0}}。 至於為什麼看這個拓樸呢？ 因為我們要研究的對象是「二項式定理」的 yee 版本（或其他相關的公式）， 問題就是：「二項式定理」可以代入 0 以外的值，那 0 呢？ 　　因為「其他複數」是一國的，而 {0} 是閉集合，所以為了簡化問題， 　　除了一定要有的開集合以外，只考慮 Ｃ－{0} 這一個開集合。 再精確一點：二項式定理可以代入 0 這件事，是真還是假？ 所以我們應該建構一個函數 f:Ｃ→{真,假} ， z├→「『二項式定理』可以代入 z」的真值 已知：z≠0 則 f(z)＝真。 若 f(0)＝假，則 f 不連續。（因為 {真} 的 preimage 不閉。） 若 f(0)＝真，則 f 連續。 所以如果我們選擇讓 f(0)＝真，就可以讓「『二項式定理』可以代值」， 但這是為了讓 f 連續才做的。偷偷地用了連續性來支持 0^0＝1。 將「f 是連續函數」翻譯成白話文： 　　其他複數都可以代入「二項式定理」，所以 0 當然也要可以，這樣才廣義。 或更激烈一點： 　　「二項式定理」不能代 0 嗎？真是垃圾公式！ ------------------------------舊論點分隔線------------------------------------ 然後再說一次，二項式定理本來就只是「展開前＝展開後」， 所以本來就可以代值，用 Σ 與其衍生物 x^0 只是簡記。 既然只是簡記，我們就必須知道我們到底「簡記」了什麼， 而那個「什麼」才是真正重要的。 -------------------------------關於平均論------------------------------------- 平均論我看了一下，我挺喜歡的，不過有幾個未定義名詞我實在看不懂。 大致上，支持 0^0＝1 的理由應該跟幾何平均數相關吧。 幾何平均數的 D （平均論文中記號）是「正實數」的集合， 這是一個群，所以 0 個數的乘積定義成 1 有非常多的好理由。 但是環不同。 在Ｃ中，非零數字乘以何數會是自身？只有 1。 0 乘以何數會是自身？什麼都可以。 所以還是無法確定 0^0 應該是多少。 ----------------------------又是舊論點分隔線---------------------------------- 然後是多項式，為什麼我要提出沒有 1 的環來當例子？ 因為這可以讓我們對 x^0 這個記號了解得更透徹！ 如果有個沒有 1 的環 A，A[x] 就是以 A 為係數的多項式環。 問題來了！ax^0 + bx^1 + cx^2 是什麼？x^0 又是什麼？ 如果要定義成 1，這是沒有道理的。 從更廣義的角度來看，x^0 並不能定義成 1，當然也就沒有什麼代值的功能。 既然廣義而言，x^0 只能當成記號，那狹義來說也是一樣。 再說吧，Z_6 共有 6 個元素：0、1、2、3、4、5。 {0,3} 用 Z_6 的加法跟乘法自然形成一個環，乘法單位元是 3。 如此 3^0 似乎應該定義成 3。 但是 3 本身是 Z_6 的元素，所以 3^0 又應該是 1？ 或者我們看更「複數」一點的環：Ｃ⊕Ｃ。 (1,0) 是在「第一個」Ｃ裡面的乘法單位元， 所以當然 (0,0)^0＝(1,0)？（此處不只 (0,0) 會出事。） 而且也不是說Ｃ衍生不出 rng（ring without identity）， 例如：C (Ｒ)＝{定義於實數系上的複數值 compactly supported 連續函數}。 0 (0 函數)^0＝1？1 又在何處呢？1 函數也不對啊（support＝Ｒ）。 （當然，此處不只 0 函數會出事。） 從這些例子可以看到，如果沒有群結構（不能延伸出群結構）， 實在不太應該定義「零次方」。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.162.58.68 ※ 編輯: Vulpix 來自: 1.162.58.68 (12/23 01:12)
推
12/23 01:12, , 1F
GOOD
12/23 01:12, 1F
→
12/23 01:13, , 2F
所以有沒有e的確是相當重要的
12/23 01:13, 2F
→
12/23 01:13, , 3F
又學到一些東西了:D
12/23 01:13, 3F
推
12/23 01:16, , 4F
你覺得這真讚
12/23 01:16, 4F
推
12/23 01:25, , 5F
讚!
12/23 01:25, 5F
推
12/23 02:02, , 6F
我建議是不要寫 a*x^0，就直接寫 a 就好了；
12/23 02:02, 6F
→
12/23 02:02, , 7F
*在這裡有他的意涵，是一個運算，常數項就是常數項，
12/23 02:02, 7F
→
12/23 02:03, , 8F
不涉及什麼跟另一個東西的乘法運算，寫個*x^0會造
12/23 02:03, 8F
→
12/23 02:03, , 9F
成不懂的人的混淆，又來說你偷用，會很痛苦。
12/23 02:03, 9F
→
12/23 02:03, , 10F
我只是要強調Σa_n*x^n所以刻意使用這個記號。
12/23 02:03, 10F
改成Σ(a_n)x^n應該比較好
→
12/23 02:04, , 11F
僅管，我們都懂，所以這樣寫，我們大家都懂什麼意思
12/23 02:04, 11F
→
12/23 02:05, , 12F
其實某人的毛就只是記號不懂而已，所以寫給這
12/23 02:05, 12F
→
12/23 02:06, , 13F
類人看的時候，我會更小心；跟一般可溝通的人，也
12/23 02:06, 13F
→
12/23 02:06, , 14F
不會太講究要求這種地方。
12/23 02:06, 14F
推
12/23 02:43, , 15F
我認為某人應該會看不懂這篇在講甚麼...XD
12/23 02:43, 15F
※ 編輯: Vulpix 來自: 1.162.58.68 (12/23 03:15)
推
12/23 04:48, , 16F
其實可以開大絕:取discrete topology...
12/23 04:48, 16F
→
12/23 04:56, , 17F
噓～別張揚。
12/23 04:56, 17F
→
12/23 10:53, , 18F
很有啟發的文章！
12/23 10:53, 18F
推
12/23 11:46, , 19F
剛剛Eeon在報告 剛好講到沒有1的環 要取一些元素
12/23 11:46, 19F
→
12/23 11:47, , 20F
取最大n使得a^n不落在某個ideal....
12/23 11:47, 20F
→
12/23 11:47, , 21F
如果a已經在ideal裡面 就取a^0=1當代表
12/23 11:47, 21F
→
12/23 11:49, , 22F
這幾天講習慣了 差點忍不住就嗆 為什麼可以代值?
12/23 11:49, 22F
→
12/23 11:50, , 23F
a^0是什麼？ 0^0怎麼辦？ 我一定是瘋了
12/23 11:50, 23F
→
12/23 23:15, , 24F
有1的環與沒有1的環還是分開討論比較好。
12/23 23:15, 24F
→
12/23 23:16, , 25F
硬綁在一起帶來一些不方便。
12/23 23:16, 25F
→
12/24 00:16, , 26F
是哪邊會不方便呢？我知道有1的環比沒有1的環多了些
12/24 00:16, 26F
→
12/24 00:17, , 27F
美好的性質。但是一起討論也有很多美好的結論啊。
12/24 00:17, 27F
→
12/24 00:26, , 28F
而且我舉的例子裡面有兩個有1的環，第3個是沒有1的環
12/24 00:26, 28F
→
12/24 00:27, , 29F
但是它還是很自然跟Ｃ這個環牽扯在一起。就剛剛提到
12/24 00:27, 29F
→
12/24 00:28, , 30F
的這個性質而言，我還是不覺得應該分開討論。
12/24 00:28, 30F
推
12/24 00:49, , 31F
"Vulpix:是哪邊會不方便呢？"　看到想回：很恐怖，
12/24 00:49, 31F
→
12/24 00:50, , 32F
不要問。上次有個人問了，結果...（插座梗）
12/24 00:50, 32F
推
12/24 11:47, , 33F
開始將各種不利的性質排出在自己的定義之外了
12/24 11:47, 33F
→
12/24 20:31, , 34F
那數學上又何必分這麼多東西？
12/24 20:31, 34F
→
12/24 20:32, , 35F
把有1的環再區分出來有一些方便，值得做。
12/24 20:32, 35F
老實說這理由我不太能理解，目前好像沒有支持的論述。 Z_6（與其子環 {0,3}）跟 Ｃ⊕Ｃ 都是有 1 的環，可是也都不適合定義 0 次方。 而 Ｃ 之所以除了 0 都可以好好定義 0 次方是因為：0 以外的複數正好形成一個群。 以下把為何連 Ｃ 這樣的體都不適合定義 0^0 說清楚： 還是拿 C_0(Ｒ) 當例子，這個環裡面每個函數都是複數值函數。 假如我們有 Ｃ 上的 0^0＝1。 f 是 C_0(Ｒ) 中的元素，然後我們開始逐點定義 f^0。 f^0 在 x 點的值理所當然是 (f(x))^0。 不管是哪個 f， (f(x))^0 全部都是 1，因為 f(x) 是複數。 所以 f^0＝(1 函數)？？ 可是 (1 函數) 又不在 C_0(Ｒ) 裡面……
推
12/24 20:44, , 36F
.........
12/24 20:44, 36F
→
12/24 20:47, , 37F
喔 那你自己去分吧...我要繼續一起用
12/24 20:47, 37F
推
12/24 20:57, , 38F
喔 那你自己去分吧...我要繼續一起用+1
12/24 20:57, 38F
推
12/24 23:13, , 39F
喔 那你自己去分吧...我要繼續一起用
12/24 23:13, 39F
→
12/25 01:07, , 40F
兩個字 民科。
12/25 01:07, 40F
→
12/25 02:09, , 41F
CHECK!
12/25 02:09, 41F
順便再說一下關於多項式的故事。 我們知道 x^0 有時候真的是 1。例如：Ｑ[x]。這是怎麼一回事呢？ 因為 Ｑ[x] 是個整域（integral domain），所以有 quotient field Ｑ(x)。 然後 x 就可以視為 Ｑ(x) 的非零元素，所以 x^0＝1 就成立了。 然後有一個或許比較直觀的看法： ～ Ｑ[x]＝Ｑ[π]。（將 Ｑ[x] 當作 Ｒ 上一些函數，然後在 π 取值。） 既然 π^0＝1，那我們就很有理由說在 Ｑ[x] 中，x^0＝1。 ※ 編輯: Vulpix 來自: 1.162.58.68 (12/25 02:30)
推
12/25 15:36, , 42F
....我無言了....
12/25 15:36, 42F
推
12/25 16:09, , 43F
召喚民科大師XD
12/25 16:09, 43F
推
12/25 16:30, , 44F
無言的山丘
12/25 16:30, 44F
推
12/25 21:58, , 45F
Yee大師真的~~不要去看代數嗎?
12/25 21:58, 45F
推
12/25 21:59, , 46F
要看早就看了，何需多言？
12/25 21:59, 46F
→
12/25 22:12, , 47F
其實只看課本不夠吧，這種問題還要自己琢磨才會通。
12/25 22:12, 47F
→
12/25 22:37, , 48F
不過說看了也不接受，那怎麼琢磨也是死胡同。
12/25 22:37, 48F
推
12/15 12:56, , 49F
受教了, 謝謝! 這篇的理由很好...
12/15 12:56, 49F
‣ 更多 Vulpix 的文章
文章代碼(AID): #1EysBtTM (Math)
‣ 更多 Vulpix 的文章
文章代碼(AID): #1EysBtTM (Math)