Re: [其他] 遞迴式求解
※ 引述《wwfc (月老工讀生)》之銘言：
: 各位版友好，小弟幫大學同學解一個機率證明問題，解到最後是一個遞迴式。
: n*M_n = 4n^2 + n + (n-2)*M_(n-1), 其中 n>1。
: 代入了幾個數字，得到 M_2 = 9, M_3 = 16, ....
: 我已經猜到 M_n = （n+1）^2。
: 但大概是數學系畢業的關係，想知道有沒有辦法，可以從遞迴式把 M_n 推出來？
: 謝謝各位的回答。
在這邊感謝Eeon大給的提示，拘泥於用特殊排列左右對消，反而忘了最基本的。
這邊先試寫前幾項：
3*M_3 = 4*3^2 + 3 + 1*M_2 ...... (1)
4*M_4 = 4*4^2 + 4 + 2*M_3 ...... (2)
5*M_5 = 4*5^2 + 5 + 3*M_4 ...... (3)
...
...
n*M_n = 4n^2 + n + (n-2)*M_(n-1) ...... (n-2)
(1)*2 + (2)*3 + (3)*4 + ..... (n-1)*(n-2)
=>
LHS = n*(n-1)*M_n
RHS = [Σ(4i^2+i)*(i-1)] + 2*M_2 where i from 3 to n
= Σ(4i^3 - 3i^2 - i) + 2*9 where i from 3 to n
= ... (研究所畢業後，沒導過這個長度的式子了XD)
= (n+1)^2
謝謝大家。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 211.76.175.169
推
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