Re: 請問最小平方法
※ 引述《iwantzzz (我愛大自然)》之銘言：
: 請問一個問題
: 課堂上老師給五個數據點
: 要我利用最小平方法
: 求出一條直線
: 那請問最小平方法 是公式嗎?
: 我google 看不出所以然
: 所以直接問數學系學生
: 感謝
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設給定的n組數對為(x1,y1),(x2,y2).......(xn-1,yn-1),(xn,yn)
欲求之回歸直線y=g(x)=a+bx
Let E=(a+bx1-y1)^2+(a+bx2-y2)^2+(a+bx3-y3)^2+.....+(a+bxn-yn)^2
1.欲求a使得E(a)最小,展開E,之後對a配方得
E=na^2+2[(bx1-y1)+(bx2-y2)+.........(bxn-yn)]a+(bx1-y1)^2+(bx2-y2)^2+.
...+(bxn-yn)^2
(bx1-y1)+(bx2-y2)+....+(bxn-yn)
視E為a為變數的拋物線,因為E(a)最小=> a= - --------------------------------
n
=> na +b (x1+x2+x3+.......+xn)=y1+y2+y3+.....+yn
n n
=> na + Σ ( xib)= Σ yi--------*
i=1 i=1
2.同理,欲求b使得E(b)最小,展開E按照b的幕次做降冪排列,之後對b配方得
E=(x1^2+X2^2+.....+xn^2)b^2+2[x1(a-y1)+x2(a-y2)+..........+xn(a-yn)]b+(a-y1)^2
+(a-y2)^2+......+(a-yn)^2
x1(a-y1)+x2(a-y2)+...+xn(a-yn)
視E為b為變數的拋物線,因為E(b)最小=> b= - --------------------------------
( x1^2+x2^2+x3^2+.....+xn^2)
n n n
=>[ Σ (xi^2) ]b= -( Σxi )a + Σ (xiyi)
i=1 i=1 i=1
n n n
=>[ Σ (xi^2) ]b + ( Σxi )a = Σ (xiyi)---------**
i=1 i=1 i=1
最後將*式及**式兩市聯立,即可求出(a,b)
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