[工數] 關於逆運算子與雙曲函數的推導請教

看板Math作者pentiumevo (數學系最不靈光的人)時間12年前 (2011/11/13 12:09)推噓6(6推 0噓 1→)

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為了增加求特解的方法，所以學了逆運算子法現在我已學會了 1 1 ----- exp(ax) = ----- exp(ax) L(D) L(a) 當a是L(D)的k重根(k不小於1) 則公式為 1 1 ------ exp(ax) = ------- x^k exp(ax) L(D) (k) L (a) 當然這公式包含了a不是L(D)的根的情形 1 1 ------ cos(ax+b) = ------- cos(ax+b) 而sin(ax+b)的情形亦同 L(D^2) L(-a^2) 而當-a^2是L(D)的k重根時(k不小於1) 1 1 -------- cos(ax+b) = ------------ x^k cos(ax+b) L(D^2) (k) L (-a^2) 這公式也包含了-a^2不是L(D)的根的情形上面三角函數的推導是借助複指數 exp(i(ax+b)) = cos(ax+b) + i sin(ax+b) 利用第一個公式，再比較實部虛部推得的。今天我做了一個題目：求解 y" + 3y' = 28 cosh(4x) 因為右邊是雙曲餘弦函數，書上沒有公式，所以就自己想辦法推推看我就在想cosh是否有和cos相似的公式，也就是有沒有 1 1 -------- cosh(ax+b) = ------------ x^k cosh(ax+b) L(D^2) (k) L (-a^2) 於是我仿照書上對cos與sin的推導得到了 L(D^2) cosh(ax) = L(a^2) cosh(ax) a^2沒有負號了! L(D^2) sinh(ax) = L(a^2) sinh(ax) 但是cos跟sin可以用複指數公式扯在一起做，而且實部虛部不會互相影響我就想了用 cosh(ax) + sinh(ax) = exp(ax) 於是 1 1 1 ------- cosh(ax) + ------- sinh(ax) = ------- [cosh(ax) + sinh(ax)] L(D^2) L(D^2) L(D^2) 1 = ------- exp(ax) L(D^2) 1 = ---------- x^k exp(ax) (k) L (a^2) 1 = ---------- x^k [cosh(ax) + sinh(ax)] (k) L (a^2) 到這裡我就猜想 1 1 ------- cosh(ax) = ------------ x^k cosh(ax) L(D^2) (k) L (a^2) (sinh的情形亦同) 但是我這樣做跟在做三角函數時有個情形不一樣，就是我這裡沒法用比較實部虛部所以我就對這公式有點疑惑，不曉得正確性麻煩知曉逆運算子法的朋友給點提示，謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 125.233.12.17

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jacky7987

11/13 12:44, , 1^F

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mp8113f

11/13 13:37, , 2^F

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endlesschaos

11/13 14:56, , 3^F