Re: [微積] 格林定理解PDE

看板Math作者chy1010 (投靠了陌生的河流)時間14年前 (2011/11/01 01:53)推噓3(3推 0噓 7→)

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※ 引述《bahhy (Kenzo)》之銘言： : dG(x,x') : ---------(代上下界x'+E到x'-E) = 1 ------(1) : dx : 在積分一次得 : G(x,x')(代上下界x'+E到x'-E) = 0 -----(2) 這應該是我們通常希望 Green's function 做到的事情, 就是在某個地方 "微分會像 delta function " 一樣. L 這裡的結果是希望 u(x) = ∫ G(x,y) q(y) dy 0 由於 G(x,y) 當成 y 的函數時, 會在 x 有 singularity, 所以微分要小心: L x L u(x) = ∫ G(x,y) q(y) dy = ∫ G(x,y) q(y) dy + ∫ G(x,y) q(y) dy 0 0 x 確保積分範圍內部為連續, 送, 微積分基本定理: L u'(x) = ∫ D_x G(x,y) q(y) dy (用 D_x 表示對 G(x,y) 的 x 分量微分) 0 + G(x,x-)q(x-) - G(x,0)q(0) + G(x,L)q(L) - G(x,x+)q(x+) 邊界條件: G(x,0)=G(x,L)=0 再加上 "q 連續" & "我們希望 G(x,x+)=G(x,x-) 左右極限值" 要一樣 L 所以 u'(x) = ∫ D_x G(x,y) q(y) dy 0 大膽再微一次分: L u''(x) = ∫ (D_x)^2 G(x,y) q(y) dy 0 + D_xG(x,x-)q(x-) - D_xG(x,0)q(0) + D_xG(x,L)q(L) - D_xG(x,x+)q(x+) 邊界條件: G(x,0)=G(x,L)=0, 對 x 微一下分不過分吧?! => D_xG(x,0)=D_xG(x,L)=0 再加上 "q連續" & 我們希望 "D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+) = 1" 另外利用 G 滿足方程式得到: (D_x)^2G + k^2 G = 0 L 於是有 u''(x) = -k^2 ∫ G(x,y) q(y) dy + q(x) 0 = -k^2 u(x) + q(x) 於是得到 u''(x) + k^2u(x) = q(x) 的解. 這個 Green's function 的取法要點在於我們想強迫它滿足: (1) 原homogeneous 方程式 G''+k^2G=0 (2) 邊界條件 G(x,0)=G(x,L)=0 (3) 在 singularity x=x' 附近希望要有 G(x,x-)-G(x,x+) = 0 DG(x,x-)-DG(x,x+) = 1 如此才有對 u(x) 微分不小心丟出一個小孩 q(x) 的功效... 所以你說的那兩個式子不是計算 G 得到的, 是我們想要 G 是 Green's function, 就必須強迫它滿足那兩個條件 -- 擁懷天地的人，有簡單的寂寞。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.37.254.163 ※ 編輯: chy1010 來自: 114.37.254.163 (11/01 01:55)

推

LimSinE

11/01 02:45, , 1^F

11/01 02:45, 1^F

推

bahhy

11/01 09:57, , 2^F

11/01 09:57, 2^F

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bahhy

11/01 09:57, , 3^F

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