[分析] 高微 證明closed的一個問題

看板Math作者 (千葉傳奇)時間14年前 (2011/10/26 01:12), 編輯推噓4(4推 0噓 15→)
留言19則, 5人參與, 最新討論串1/1
A跟B是R中非空的closed subset 問我們 A+B={a+b , a屬於A且b屬於B} AxB={ab ,a屬於A且b屬於B} 是closed or open or non 假如A跟B都是open subset的情況又如何? 我A，B都是open subset的情況有證出來... 但是不太清楚A，B都是closed的情況怎麼證明? 謝謝... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.25.185.148
推
10/26 01:15, , 1F
A+B有反例
10/26 01:15, 1F
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10/26 08:46, , 2F
!!
10/26 08:46, 2F
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10/26 08:50, , 3F
想請問一下這題的反例怎麼取?
10/26 08:50, 3F
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10/26 09:08, , 4F
A = {n+ 1/n | n 自然數}, B = {-n | n 自然數}
10/26 09:08, 4F
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10/26 09:09, , 5F
c_n = 1/n 在 A+B 中, 但其極限 0 不在 A+B 中
10/26 09:09, 5F
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10/26 09:13, , 6F
此例可衍生出 AXB 的反例
10/26 09:13, 6F
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10/26 13:58, , 7F
修改一下A, B 中 加上 n >= 2
10/26 13:58, 7F
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10/27 00:26, , 8F
!!感謝...難怪closed怎麼證都出不來
10/27 00:26, 8F
推
10/27 00:43, , 9F
dogy大 你造的那個A不是closed耶
10/27 00:43, 9F
推
10/27 00:50, , 10F
樓上可以再想想, dogy007 是對的>
10/27 00:50, 10F
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10/27 15:45, , 11F
會想出這種例子，其實一個要點是如果 A 是 compact
10/27 15:45, 11F
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10/27 15:46, , 12F
B 是 closed 那麼 A+B 會是 closed
10/27 15:46, 12F
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10/27 15:47, , 13F
所以我們想例子時，必須造一個 closed 但不 compact
10/27 15:47, 13F
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10/27 15:48, , 14F
所以最簡單的就是 A 是一個跑向無限大的序列
10/27 15:48, 14F
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10/27 15:49, , 15F
然後我們需要 a_n + b_n 收斂，但不在 A+B 中
10/27 15:49, 15F
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10/27 15:50, , 16F
所以找一個 b_n 幾乎抵銷 a_n 然後 a_n+b_n 收斂
10/27 15:50, 16F
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10/27 15:53, , 17F
到一個不在A+B中的點就好了，重點是a_n,b_n 不收斂
10/27 15:53, 17F
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10/28 00:31, , 18F
原來如此...受教了 謝謝
10/28 00:31, 18F
推
10/28 08:20, , 19F
看錯了 THX~
10/28 08:20, 19F
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