Re: [中學] 三角形的問題
※ 引述《insel ()》之銘言：
: 三角形ABC的三邊長分別為2 3 4
: P為三角形ABC內部一點使得角APC = 角APB = 角BPC =120 度
: 求 PA : PB : PC = ?
: 麻煩大家囉
我不知道有沒有更好的方法,但我看過怎麼解出PA,PB,BC
假設AB=c , BC=a , CA=b , PA=x , PB=y , PC=c , △為面積
用餘弦定理得
2 2 2
x +y +xy = c ....(1)
2 2 2
y +z +yz = a ....(2)
2 2 2
z +x +zx = b ....(3)
2 2 c^2-a^2
(1)-(2)得 (x-z)(x+y+z)=c -a , x-z=------- ....(4)
x+y+z
2 2 a^2-b^2
(2)-(3)得 (y-x)(x+y+z)=a -b , y-x=------- ....(5)
x+y+z
2 2 b^2-c^2
(3)-(1)得 (z-y)(x+y+z)=b -c , z-y=------- ....(6)
x+y+z
(1)(2)(3)三式相加得
2 2 2 2 2 2
2(x +y +z )+(xy+yz+zx)=(a +b +c ) ....(7)
用三角形面積公式
√3
---(xy+yz+zx)=△ ....(8)
4
2 1 2 2 2
用(7)(8)式得 (x+y+z) = ---(a +b +c +2√3△)
2
____________________
√ 2 2 2
x+y+z = √1/2(a +b +c +2√3△)
代回(4)(5)(6)進而解出x,y,z
2 2 2
3(b +c -a)+4√3△
x= --------------------
_________________
√ 2 2 2
3√2(a +b +c)+8√3△
y= ...
z= ...
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