Re: [複變] 幾題
※ 引述《kuut (庫特)》之銘言：
: 1.Let |z|=3 and |e^z/(z^2+1)|≦L determine the value of L
: 2.Express (1)cos3θ and (2)sin3θ in term of cosθ and sinθ by using Euler's
: formula.
: 3.Let |z|=2 |Re(2 + zbar + z^3|<L_1 and |1/(z^4-4z^2+3)|<L_2 then
: determine the value of L_1 and L_2
: 就這幾題
: 我不知道看到要怎麼下手@@
: 拜託了QQ
關於 1,3 想不出複變有什麼好作法，
1. 不過 令 z=x+yi, x,y in R, 則 x^2+y^2=9
|e^z| = e^x
|z^2+1|^2 = (x^2-y^2+1)^2 + (2xy)^2 = x^4+2x^2 y^2 + y^4 + 2x^2 -2y^2 + 1
可以利用 x^2+y^2=9 將化為 |e^z/(z^2+1)|^2 化為 x 的函數，然後算極大值
至於 3, |z| 在半徑為 2 的圓上
Re(2+zbar+z^3) = 2 + Re(zbar) + Re(z^3)
上式右邊三個部分, 均在 z=2 時取到最大值，z=-2時取到最小值
所以不難知道 |Re(2 + zbar + z^3)|<=12
後面的|1/(z^4-4z^2+3)|
其中 z^4-4z^2+3 = (z^2-1)(z^2-3)
所以 |z^4-4z^2+3| 可以視為 z^2 和 1 之間的距離乘以 z^2 和 3 之間的距離乘積
但 z^2 位為以原點為圓心，半徑為4的圓上
不難看出該二距離恰好都在在 z^2=4 時達到最小
所以 |1/(z^4-4z^2+3)| <= 1/3
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