作者 kku6869 (kku6869) 看板 Math
標題 [中學] 多邊形面積
時間 Thu Sep 29 10:48:50 2011
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請問一下...
等周長的多邊形 以正多邊形面積為最大嗎?
例如.....
任意等周長六邊型形中 以正六邊形面績最大嗎?
如何證明?
作者: JohnMash (Paul) 看板: Math
標題: Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家
時間: Thu Sep 29 11:14:42 2011
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言:
: 6.
: 證明n邊形中 若周長相等 則 面積最大者為正n邊形
反證法
設ABC...H 為n邊形頂點 且它不是正n邊形
則至少有兩個邊 是不等長且相鄰
可設為 AB 及 BC
取B'為 AB'=B'C=(AB+BC)/2
則 AB'C...H 為n邊形 周長與 ABC...H 相等 但面積較大
得證
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◆ From: 112.104.172.107
推
03/12 18:07,
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03/12 18:07,
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03/12 18:08,
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03/12 19:04,
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03/12 19:06,
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由於Sfly的指正
我們把後續的問題進一步處理
前面我們已經證明 n邊形必須是等邊形才可能是最大
現在 我們要證明等角(n≧5, n=3,4很容易)
不妨假設 n邊形 ABCDE...H 的邊長均為1
固定A,D,E...H 但是 B,C 可動, 考慮四邊形ABCD的面積
AB=BC=CD=1, 令AD=b為定值(b≧1,否則是凹多邊形)
令∠ABC=β, ∠CDA=δ
則四邊形ABCD面積K為
(1/2)sinβ+(1/2)b sinδ=K.............(1)
限制條件由CA的長度給出
[2 sin(β/2)]^2=(b-cosδ)^2+sin^2 δ
即
2(1-cosβ)=b^2-2b cosδ+1.............(2)
(1),(2) 可整理成
sinβ+b sinδ=2K...................(3)
-cosβ+b cosδ=(b^2-1)/2............(4)
(3式)^2+(4式)^2 得
1-2b cos(β+δ)+b^2=4K^2+(b^2-1)^2/4
故 K 的極大值 發生在 cos(β+δ)=-1
β+δ=π
證畢
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03/13 20:40,
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09/30 02:56, , 1F
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推
09/30 23:22, , 2F
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09/30 23:22, , 3F
09/30 23:22, 3F
because β+δ=π,
A,B,C,D lie on a circle.
Hence, arc AB, BC, CD have the same central angle.
How about that?
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.214.168 (10/01 21:22)
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