[分析] S^1 is compact & connected(附想法)
主要是想請教一下有無快速方法證明圓圈是compact & connected
因為考古題的 S = {(x,y) │x^2 + y^6 = 1} 很像圓
而當初學高微時是用圖形很容易就看出圓圈是compact and connected
可是沒自己證過= =
剛剛看了一下考古題
要證 S = {(x,y) │x^2 + y^6 = 1} 是compact and connected
發現他是隱函數...目前還沒複習到XD(還是這種題目用隱函數定理可以解決?)
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想法：
(一) connected：
土法煉鋼慢慢做 , 把x看成y的函數
1. y 的domain 是[-1,1]
2. x = + (y^6 - 1)^(1/2) or - (y^6 - 1)^(1/2)
所以題目就變成證 A U B is compact and connected
where A = {(+(y^6 - 1)^(1/2) , y) │y€[-1,1]}
B = {(-(y^6 - 1)^(1/2) , y) │y€[-1,1]}
而因為 + (y^6 - 1)^(1/2) 與 - (y^6 - 1)^(1/2) 都是conti. on [-1,1]
所以 A , B 皆是connected ，但是 A U B 呢??
怎麼用數學式子去寫說它的邊點會接在一起??
(二) compact：我想用Heine - Borel Theorem
1.bdd.：trivial
2.closed：
問題來了...看圖很簡單...可是去證的話
我想證明：任何不在 S 上的點 , 一定存在一個鄰域
使得這個鄰域跟 S 的交集是空集合
所以 如果(a,b) , s.t. a^2 + b^6 > 1 (<1也是同理)
我想證明 (a,b)跟 S 的距離(d)是大於0的
(這樣鄰域的半徑取d/2就可得證 因為距離是最短垂直距離)
好加在...S可以參數化成 ( cost , (sint)^(1/3) ) , t€[0,2pi)
所以我真的要硬幹嗎？
i.e. Try to prove d( (a,b) , S ) > 0 if a^2 + b^6 =/= 1
而且就算要硬幹我也不太會...畢竟這不是一個圓圈
如果是x^2 + y^2 = 1的情形的話
很簡單...d = (a^2 + b^2)^(1/2) - 1 即可
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這學期才剛修幾何
以後應該會教 f(x,y) = 0 的圖形( S )的通解吧?? (一定是點or線?)
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