Re: [分析] 去年台大碩士考題
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 其實我完全沒學過這類方法所以來求救QAQ
: 1 1 1 1
: a=----- + ----- + ------ + ------ + ...
: 2^2 6^2 10^2 14^2
: Find the value of a by the method of the Fourier series
: 感謝大家QAQ
因為我的推文中有些錯誤(要猜是偶函數比較好),所以重新PO一篇
像這樣的題目,不給你原函數,就是有可能函數比較簡單.
通常會去猜奇或偶 , 而週期選定 2π 就可 , -π<x≦π
只要在偷偷做幾步就可以猜到
如果是偶函數 f(x) (-π<x≦π)
2 π
a = ── ∫ f(x)cos(nx) dx , n = 1,2,....
n π 0
2 sin(nx) │π 2 π sin(nx)
= ── f(x) ──── │ ─ ──∫ f'(x) ──── dx
π n │0 π 0 n
════════════ ════════════
(1) = 0 (2)
1
因為是希望求 Σ ────
n^2
所以希望選 f(x) 讓連續 且 f'(x) = constant 在 (0,π)
那麼
f(x) = π- x when (0<x≦π)
另 f(-x) = f(x)
就是其中一個滿足條件的簡單函數 , 在此函數下
2 n π
a = ──────( 1 - (-1) ) , a = ───
n π*(n^2) 0 2
∞
so f(x) = a + Σ a cos((2n+1)x)
0 n=0 2n+1
π ∞ 4
f(0) = π = ─── + Σ ─────
2 n=0 π*(2n+1)^2
∞ 1 π^2
Σ ─────── = ──── = a* 4
n=0 (2n+1)^2 8
為何收斂就查一下書(並記一下)..
π^2
a = ─────
32
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推
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