[中學] 求證明：a b互質則(a+b)與ab互質

看板Math作者 (Ajay)時間14年前 (2011/08/25 13:24), 編輯推噓1(1推 0噓 11→)
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[題目] 已知a,b互質，試證(a+b)與(a*b)互質。*為乘號 =========================== 因為參考書上很爽快地用了這個關係， 所以我想應該是對的，只是我證不出來所以不放心。 請注意a,b互質並不代表他們是質數喔。 =========================== 另外請問反之成立嗎? 先謝過大大。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.64.206.200
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08/25 13:31, , 1F
設(a,b)=k，用a=ka',b=bk'帶進(a+b,ab)=1，得k=1
08/25 13:31, 1F
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08/25 13:33, , 2F
上為逆敘述
08/25 13:33, 2F
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08/25 13:35, , 3F
原題(a,b)=1 => (a,a+b)=1, (b,a+b)=1 =>(ab,a+b)=1
08/25 13:35, 3F
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08/25 15:14, , 4F
謝囉~~
08/25 15:14, 4F
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08/25 15:40, , 5F
應該是b'吧
08/25 15:40, 5F
推
08/25 23:16, , 6F
我之前也在想這個問題
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08/25 23:51, , 7F
提供一下另一種證法好了..
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08/25 23:52, , 8F
令(a+b,ab)=g g是正整數
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08/25 23:53, , 9F
g l (a+b)(a) +(ab)(-1) => g l a"2" (平方)
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08/25 23:54, , 10F
g l (a+b)(b) + (ab)(-1) => g l b"2"
08/25 23:54, 10F
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08/25 23:55, , 11F
整理: g l (a"2",b"2") 且a,b互質
08/25 23:55, 11F
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08/25 23:56, , 12F
g= +1ˇ-1 又g為正整數 故g=1
08/25 23:56, 12F
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