[分析] 兩個問題
第一個問題：
之前在
17814 2 8/13 znmkhxrw □ [微積] ∫lnx dx , x=0 to 1
這篇時
主要是問：
當
1 n 1-a
lim lim ─── Σ ln(a + ── k ) 存在 且等於 -1
a→0+ n→∞ n k=1 n
如果 lim可以互調 就變成了
1 n k
lim ─── Σ ln( ──) 存在 且等於 -1
n→∞ n k=1 n
如此一來
不僅證得
1 n k
lim ─── Σ ln( ──) 存在
n→∞ n k=1 n
更說明了其值為 -1
(假如只是知道lim存在 亦不能確保其值為-1)
當時讀了下面推文中的文章
只要我們確定
1.f_n(x) is uniformly conv. on S
2.for all n , lim f_n(x) exists , a€L(S) (S的limit points)
x→a
then lim lim f_n(x) = lim lim f_n(x)
x→a n→∞ n→∞x→a
所以 要得到我問的結果
只要能證得：
1 n 1-x
f_n(x) = ─── Σ ln(x + ── k ) is uniformly conv. on (0,1]
n k=1 n
就得證了！
想了很久 毫無方向
Dini 不能用 因為不是compact
又不是power series 不知道怎下手= =
有沒有在討論積分化成級數時 均勻收斂的問題
也就是說 如果f(t) 在[a,b] 可積
亦即
x
F(x) = ∫ f(t) dt 存在 for all x€[a,b]
a
取相同間隔的partition ， 取右端點
我們得到
x-a n x-a
F(x) = lim ─── Σ f(a + ── k ) = lim G_n(x)
n→∞ n k=1 n n→∞
x-a n x-a
where G_n(x) = ─── Σ f(a + ── k )
n k=1 n
已經知道G_n(x)逐點收斂到 F(x)
是否均勻呢???
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第二個問題：
if f(t)€int[a,∞)
for y>x>a
y
lim lim ∫ f(t) dt 是否等於 0
x→∞ y→∞ x
用圖形去想是顯然的
化成嚴謹的敘述 問題變成如下：
y
if lim ∫ f(t) dt exists for all x>a
y→∞ x
y
then lim lim ∫ f(t) dt 是否等於 0
x→∞ y→∞ x
我有個證法：
因為F.T.C.說
if f(t) €int[a,b] , then there exists F(x)€diff[a,b]
x
s.t. F'(x) = f(x) on [a,b] by leting F(x) = ∫ f(t) dt
a
Moreover if G'(x) = F'(x) on [a,b]
x
then G(x) - G(a) = ∫ f(t) dt on [a,b]
a
注意到 F(x)的定義是dependent on a
所以 "Moreover" 是表達說： 如果f(x) 存在原函數 G(x) (與a無關!!!)
則 x
G(x) - G(a) = ∫ f(t) dt on [a,b]
a
但是！！！！！！！！！！！
並不是所有函數都有原函數 (ex: e^(-x^2))
回到原題目
如果f(t)存在原函數 F(t)
y
∫ f(t) dt = F(y) - F(x)
x
y
Since lim ∫ f(t) dt exists for all x>a
y→∞ x
y
so lim ∫ f(t) dt = lim (F(y) - F(x)) exists for all x>a
y→∞ x y→∞
F(x)與y無關 , 之後再對x取lim , 就得到兩個相等的值相減等於0
可是！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
如果f(t) 不存在原函數呢？
y
依據F.T.C. 我們只能得到存在一個F(y) = ∫ f(t) dt €diff[x,y]
x
s.t. F'(y) = f(y)
可是 此F(y) is dependent on x
所以對y取limit時 還是會有x的變因
就不能用上述方法證了！
因為如果存在原函數的話 取limit時 可把x,y分開!!!
請問如果不存在原函數時 要如何證呢？？
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