[微積] ∫lnx dx , x=0 to 1
1 1
∫ lnx dx is defined by lim ∫ lnx dx , for 0 < a < 1
0 a→0+ a
其值是-1
而我們知道
如果 f(x) 在 [a,b] 可積 , 積分結果是 A
則任取partition P , 當││P││ → 0 時 ,
f在其interval的值任取一點 得到的 R(f,P) 皆是 A
所以方便計算時 我們可以取 P={x_0 < x_1 < ... < x_(i-1) < x_i < .. < x_n}
where x_0 = a , x_n = b , x_i - x_(i-1) = (b-a)/n
且取的函數值是右端點或是左邊點
算出的結果均是 A
現在我們把f(x)當成ln(x) , [a,b] 當作 [a,1]
因為lnx在[a,1]可積
取上述partition P , 且取右端點
我們有
1
∫ lnx dx
a
1 n 1-a
= lim ─── Σ ln(a + ── k )
n→∞ n k=1 n
而因為 1
lim ∫ lnx dx 存在
a→0+ a
所以
1 n 1-a
=lim lim ─── Σ ln(a + ── k ) 存在 且等於 -1
a→0+ n→∞ n k=1 n
問題來了
為何可以把 lim 先擺進去 也就是我們常見的
a→0+
1 n k
= lim ─── Σ ln( ──) 存在 且等於 -1
n→∞ n k=1 n
--------------------------------------------------
我目前想法是：
先簡化一下符號
1
Let f(x) = ∫ lnt dt
x
then f(x) is continuous on [0,1] by defining f(0) = lim f(x)
x→0+
1 n 1-x
and let f_n(x) = ─── Σ ln(x + ── k ) €C[0,1]
n k=1 n
then f_n(x) is convergent to f(x) pointwisely on (0,1] ----(*)
我們想證的是(*)中 在{0}是否成立
i.e. Is f_n(0) convergent to f(0) = -1
用均勻收斂去想似乎沒啥相關
而且也有反例
Let f(x) = 0 €C[0,1]
f_n(x) = (1-x)^n €C[0,1]
f_n(x) is convergent to f(x) = 0 pointwisely on (0,1]
But f_n(0) 卻是收斂到 1
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.157.107
推
08/13 01:37, , 1F
08/13 01:37, 1F
→
08/13 01:40, , 2F
08/13 01:40, 2F
→
08/13 01:41, , 3F
08/13 01:41, 3F
推
08/13 01:47, , 4F
08/13 01:47, 4F
→
08/13 02:51, , 5F
08/13 02:51, 5F
→
08/13 06:25, , 6F
08/13 06:25, 6F
→
08/13 06:49, , 7F
08/13 06:49, 7F
→
08/13 10:35, , 8F
08/13 10:35, 8F